小题专项训练5三角函数与三角恒等变换一、选择题1．若点在角α的终边上，则sinα的值为()A．－B．C．D．－【答案】D【解析】因为点在单位圆上，所以sinα＝cos＝－.2．已知α为锐角，且sinα＝，则cos(π＋α)＝()A．B．－C．－D．【答案】B【解析】因为α为锐角，所以cosα＝＝，所以cos(π＋α)＝－cosα＝－.3．函数y＝4sinxcosx－1的最小正周期T和最大值M分别为()A．π，1B．2π，1C．π，2D．2π，2【答案】A【解析】y＝4sinxcosx－1＝2sin2x－1，故其最小正周期T＝＝π，最大值M＝2－1＝1.4．(2019年河南模拟)若sin＝－3cos，则tan2α＝()A．－4B．－C．4D．【答案】A【解析】由sin＝－3cos，可得sinα－cosα＝－3，则2sinα＝－cosα，所以tanα＝－.所以tan2α＝＝－4.故选A．5．(2018年四川泸州模拟)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象()A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线x＝对称D．关于直线x＝对称【答案】A【解析】 y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，∴sin＝1.∴cos＝0.∴y＝cos(2x＋φ)的图象过点，则关于点对称．故选A．6．已知sinβ＝，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．－B．C．－2D．2【答案】C【解析】 sinβ＝，且<β<π，∴cosβ＝－，tanβ＝－. sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosα，∴tanα＝－，∴tan(α＋β)＝＝－2.7．若函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝2sinB．f(x)＝2sinC．f(x)＝2sinD．f(x)＝2sin【答案】D【解析】f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin.因为f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|min＝，所以＝，得T＝2π.故ω＝＝1，所以f(x)＝2sin.8．(2018年山西太原模拟)已知函数f(x)＝2cos的一个对称中心是(2,0)，且f(1)＞f(3)，要得到函数f(x)的图象，可将函数y＝2cos的图象()A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】 f(x)＝2cos的一个对称中心是(2,0)，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，故可取φ＝－，f(x)＝2cos＝2cos，满足f(1)＞f(3)．故选C．9．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1＋，于是sinθ＋cosθ＝.又(sinθ－cosθ)2＝1－sin2θ＝1－，所以sinθ－cosθ＝.可得sinθ＝.10．已知f(x)＝2sinωx(cosωx＋sinωx)(ω＞0)的图象在x∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为()A．B．C．D．【答案】B【解析】f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋1＝sin＋1.设g(x)＝2ωx－，g(0)＝－，g(1)＝2ω－，f(x)的图象在x∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴≤2ω－<π，解得≤ω<.故选B．11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB·BC＝－|AB|2，则ω等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】由三角函数的对称性知AB·BC＝AB·2BD＝2AB·BD＝2|AB|2cos(π－∠ABD)＝－|AB|2，所以cos∠ABD＝，即∠ABD＝.|AD|＝2tan＝2，所以f(x)的最小正周期T＝4.所以ω＝＝.故选A．12．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f(2)＝0.若将函数f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则t的最小值为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题图可设A(x1,3)，B(x2，－3)，∴|AB|＝＝10，得|x1－x2|＝8.∴T＝2|x1－x2|＝16.∴＝16，ω＝，则f(x)＝3sin.由f(2)＝0，得3sin＝0.又－≤φ≤，∴φ＝－，f(x)＝3sin.将f(x)的图象向右平移t(t＞0)个单位长度，得对应的函数g(x)＝f(x－t)＝3sin.由题意得g(x)的图象关于y轴对称，∴t＋＝kπ＋(k∈Z)，解得t＝8k＋2(k∈Z)，故正数t的最小值为2.二、填空题13．(2018年山东日照二模)已知sin＝，则cos2的值为________．【答案】【解析】cos2＝cos2＝sin2＝.14．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f＝________.【答案】±2【解析】由题意可得f(x)的图象的对称轴为x＝，所以f＝±2.15．(2019年广东中山模拟)函数y＝2sin的单调递...
