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高考数学复习点拨 对定积分的概念剖析VIP免费

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对定积分的概念剖析学习定积分对理解中学教材是必要的,如祖日恒原理.只有学习了定积分才能更好地理解它,要想学好本部分,也需从定义学起.一、关于定积分的概念1.定积分的定义:如果函数在区间上连续(如图1),用分点.将区间等分成个小区间,在每个小区间上任取一点,作和式,当时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的定积分,记作,即,这里,与分别叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数叫做被积函数,叫做积分变量,叫做被积式.注意:1.定积分是一种“和”的极限,蕴含着分割、近似代替,求和、取极限的思想方法,这种思想方法来源于“计算底边在区间上,高为的曲边梯形的面积”.①分割:将大曲边梯形分割成很多个小曲边梯形,即在区间内取个点,它们依次为,这些点把区间等分成个小区间.②近似代替:当分点较多,又分割的较细时,即在每个小区间上的值变化不大时,在每个小区间上任取一点,以为高,为底的小矩形面积近似代替相应区间上的小曲边梯形的面积(近似代替可以有以直代曲,以匀速代变速,以恒力代变力,以圆柱代圆锥等多种方式).③求和:将区间上近似代替小曲边梯形的小矩形的面积加起来,就是所求曲边梯形面积的近似值.④取极限:当上述分割越来越细,即分点无限增多,同时小区间的长度趋近于零时,则求和公式的极限就是曲边梯形的面积.许多实际问题,如求体积、变力作功、变速直线运动的路程等,都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”归结成这种特殊结构的“和”的极限.抛开实际问题的具体意义,从数学结构上来考虑问题,就产生了定积分的定义.2.在定义中均假设,当或时,有或.3.定积分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,与被积函数在积分区间有关,与积分变量用什么字母表示无关.用心爱心专心4.如果被积函数在积分区间上连续,那么定积分必定存在,如无特别声明,我们总假定被积函数在积分区间上连续.2.定积分的几何意义:(1)当函数时,定积分在几何上表示:由曲线、直线及轴所围成的曲边梯形(图2)的面积.即.(2)如果在区间,函数时,那么曲边梯形位于轴下方(图3).在.右端的和式中,由于,,故0.从而积分,这时它等于图3所示曲边梯形面积的负值,即或S.(3)当在区间上有正有负时,积分在几何上表示图4所示的几个小曲边梯形面积的代数和(轴上方面积取正号,轴下方面积取负号).二、典例分析例1根据定积分的几何意义计算定积分:.解:由几何意义,所求定积分表示由直线及所围成图形的面积,即图中阴影部分面积.因此.例2利用定积分定义计算:.解:被积函数,在区间上连续,故可积.将区间分成等份,每个区间的长度为,在上取点用心爱心专心,.于是,从而得到.所以.用心爱心专心

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