第六节曲线与方程曲线的轨迹方程考向聚焦高考常考内容,主要考查:(1)利用直接法、定义法或相关点法求动点的轨迹方程,(2)根据方程研究曲线的性质多以解答题一问的形式出现,难度中档,所占分值4~6分备考指津训练题型:(1)定义法,注重基础知识的训练;(2)直接法,注重分析问题的能力和数形结合思想的运用;(3)相关点法,注重转化与化归思想的培育1.(年重庆卷,理10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()(A)直线(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线解析:在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线,平面ABCD过直线DC且平行于A1D1,以D为原点,分别以DA、DC为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设点P(x,y)在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等,∴|x|=,∴x2-y2=a2,故选D.答案:D.2.(年北京卷,理14)曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是.解析:设点P(x,y)是曲线C上任一点,由条件知:|PF1|·|PF2|=a2,即·=a2,对于①:代入(0,0)得1=a2与a>1矛盾,∴①不正确;对于②:代入(-x,-y),得:·=·=a2,∴②正确;对于③: =|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=sin∠F1PF2≤,∴③是正确的,故正确的结论是②③.答案:②③3.(年四川卷,理21,12分)如图,动点M与两定点A(-1,0)、B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.解:(1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,且y≠0.当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3).当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=,即-=.化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).(2)由消去y,可得x2-4mx+m2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以解得m>1,且m≠2.设Q、R的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,yR),由|PQ|<|PR|有xR=2m+,xQ=2m-.所以====-1+.由m>1,且m≠2,有1<-1+<7+4,且-1+≠7.所以的取值范围是(1,7)∪(7,7+4).4.(年陕西卷,理17)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.解:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得 P在圆上,∴x2+(y)2=25,即C的方程为+=1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得+=1,即x2-3x-8=0.∴x1=,x2=.∴线段AB的长度为|AB|====.5.(年天津卷,理18)在平面直角坐标系xＯy中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足·=-2,求点M的轨迹方程.解:(1)设F(-c,0),F2(c,0)(c>0),由题意知|PF2|=|F1F2|,即=2c,整理得2()2+-1=0.∴=(负值舍去),即e=.(2)由(1)知a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2:y=(x-c).由消去y并整理得5x2-8cx=0.∴x1=0,x2=c.∴,.设A(c,c),B(0,-c).设M(x,y),则=(x-c,y-c),=(x,y+c).由y=(x-c)得c=x-y,∴=(y-x,y-x),=(x,x),由·=-2,即(y-x)·x+(y-x)·x=-2.整理得18x2-16xy-15=0.则y=,将其代入c=x-y,得c=>0,∴x>0.∴点M的轨迹方程是18x2-16xy-15=0(x>0).6.(年安徽卷,理21)设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足=λ,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足=λ,求点P的轨迹方程.解:由=λ知Q、M、P三点在同一条垂直于x轴的直线上,可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则x2-y0=λ(y-x2),即y0=(1+λ)x2-λy,①设B(x1,y1),由=λ,得(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),即,②将①式代入②式,消去y0,得,③又点B在抛物线y=x2上,故有y1=,将③式代入y1=得(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2⇒(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2,⇒2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0,由λ>0,两边同除以λ(1+λ)得2x-y-1...
