高考数学专题二第3讲知能演练轻松闯关训练题1．(2012·河南省三市调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋＝()A．iB．1－iC．1＋iD．－i解析：选B.由已知得z＝＝＝＝i，|z|＋＝|i|＋＝1－i，选B.2．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于()A.B.C.D.或解析：选B.由题意知|a|＝4，|b|＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝.3．(2012·高考四川卷)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：选C.表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选择项易知C满足题意．4．(2012·高考大纲全国卷)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD＝()A.a－bB.a－bC.a－bD.a－b解析：选D.如图，∵a·b＝0，∴a⊥b，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝.又CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，∴AD＝.∴AD＝AB＝(a－b)＝a－b.5．(2012·福州市质检)如图，已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则(OA＋OB)·(OA＋OC)等于()A.B．－C.D．－解析：选D.∵点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，∴|OA|＝|OB|＝|OC|＝，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，∴(OA＋OB)·(OA＋OC)＝OA2＋OA·OC＋OA·OB＋OB·OC＝()2＋3×()2cos＝－.6．(2012·高考湖北卷)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析：＝＝＝a＋bi，∴①＋②得a＋b＝3.答案：37．(2012·高考安徽卷)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.解析：a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.答案：8．(2012·高考安徽卷)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a2＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取“＝”号．答案：－9．已知向量AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，a∈R.1(1)若D为BC中点，AD＝(m,2)，求a、m的值；(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．解：(1)因为AB＝(3,1)，AC＝(－1，a)，所以AD＝＝.又AD＝(m,2)，所以解得(2)因为△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.当A＝90°时，由AB⊥AC，得3×(－1)＋1·a＝0，所以a＝3；当B＝90°时，因为BC＝AC－AB＝(－4，a－1)，所以由AB⊥BC，得3×(－4)＋1·(a－1)＝0，所以a＝13；当C＝90°时，由BC⊥AC，得－1×(－4)＋a·(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因为a∈R，所以无解．综上所述，a＝3或a＝13.10．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，即4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝12＋22，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，所以sin＝－.又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.故θ＝或θ＝.11．已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．(1)若m·n＝1，求cos(－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解：(1)m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin(＋)＋.又∵m·n＝1，∴sin(＋)＝，cos(x＋)＝1－2sin2(＋)＝，cos(－x)＝－cos(x＋)＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得，(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝，B＝.∴0
