大题规范练(八)“20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知函数f(x)＝ln(mx)－x＋1，g(x)＝(x－1)ex－mx，m>0.(1)若f(x)的最大值为0，求m的值；(2)求证：g(x)有且仅有一个极值点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m.【导学号：04024244】解：(1)由m>0，得f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－1＝.当x＝1时，f′(x)＝0；当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．故当x＝1时，f(x)取得极大值，也是最大值0，则f(1)＝0，即lnm＝0，故m＝1.(2)证明：g′(x)＝xex－m，令h(x)＝xex－m，则h′(x)＝(x＋1)ex.当x＝－1时，h′(x)＝0；当x<－1时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>－1时，h′(x)>0，h(x)单调递增．故当x＝－1时，h(x)取得最小值h(－1)＝－e－1－m＜0.当x<－1时，h(x)<0，h(x)无零点．注意到h(m)＝mem－m>0，所以h(x)有且仅有一个零点x0，且x0∈(－1，m)．由(1)知lnx≤x－1，又m>0，所以ln(m＋1)∈.而h＝h(ln)＝ln－m＜(－1)－m＝1－＜0，则x0＞ln(m＋1)，故h(x)有且仅有一个零点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m，即g(x)有且仅有一个极值点x0，且ln(m＋1)＜x0＜m.21．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝20，点B(1,0)，点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程；(2)设M，N为抛物线C2：y＝x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值.【导学号：04024245】解：(1)由已知可得，点P满足|PB|＋|PC|＝|AC|＝2>2＝|BC|，∴动点P的轨迹C1是一个焦点在x轴上的椭圆，其中2a＝2，2c＝2，∴动点P的轨迹C1的方程为＋＝1.(2)设N(t，t2)，则直线PQ的方程为y－t2＝2t(x－t)，整理，得y＝2tx－t2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立消去y整理得，(4＋20t2)x2－20t3x＋5t4－20＝0，有∴|PQ|＝×|x1－x2|＝×，又点M到直线PQ的距离d＝，∴S△MPQ＝|PQ|d＝≤·＝，∴当t2＝10时，△MPQ的面积的最大值为.
