1.3导数与函数的零点及参数范围1.(2017天津六校联考,文21)设函数f(x)=lnx-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,求实数m的取值范围.2.(2017湖北荆州质检一,文21)已知函数f(x)=+a(x-lnx),e为自然对数的底数.(1)当a>0时,试求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x∈上有三个不同的极值点,求实数a的取值范围.3.(2017北京东城一模,文20)设函数f(x)=x3-x2+ax,a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值,并讨论f(x)的单调性;(2)已知函数g(x)=f(x)-ax2+,若g(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.4.(2017湖南长郡中学临考冲刺,文21)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx(a∈R).(1)若曲线g(x)=f(x)+x在点(1,g(1))处得切线过点(0,2),求函数g(x)的单调减区间;(2)若函数y=f(x)在上无零点,求a的最小值.5.(2017河南豫南九校质量考评八,文21)已知函数f(x)=lnx+(a>0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a≥,b>1时,f(lnb)>.导学号〚24190963〛6.(2017福建宁德一模,文21)已知函数f(x)=lnx-ax+(a∈R).(1)当a=-时,求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)=f(x)+a(x-1)有两个零点x1,x2,且x1
1.导学号〚24190964〛1.3导数与函数的零点及参数范围1.解(1)依题意,知f(x)的定义域为(0,+∞),当a=b=时,f(x)=lnx-x2-x,f'(x)=x-,令f'(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当00;当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞).(2)当a=0,b=-1时,f(x)=lnx+x,由f(x)=mx,得lnx+x=mx,又x>0,所以m=1+.要使方程f(x)=mx在区间[1,e2]上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x>0),∴g'(x)=,由g'(x)>0得0e,∴g(x)在区间[1,e]上是增函数,在区间[e,e2]上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1≤m<1+或m=1+.2.解(1)函数的定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=+a,当a>0时,对于∀x∈(0,+∞),ex+ax>0恒成立,所以,若x>1,f'(x)>0,若00,∴-20,解得x>2或x<-1,∴f(x)在x∈(-∞,-1),(2,+∞)时单调递增;令f'(x)<0,解得-10恒成立,g(x)单调递增,又g(0)=>0,因此此时函数g(x)在区间(0,1)内没有零点.②当00,g(x)单调递增,x∈(a,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,∴(1+a)+a+<0,解得a<-1.舍去.③当a≤0时,x∈(0,1),g'(x)<0,g(x)单调递减,又g(0)=>0,因此要使函数g(x)在区间(0,1)内有零点,必有g(1)<0,解得a<-1.满足条件.综上可得a的取值范围是(-∞,-1).4.解(1) g(x)=(3-a)x-(2-a)-2lnx,∴g'(x)=3-a-,∴g'(1)=1-a.又g(1)=1,∴1-a==-1,得a=2.由g'(x)=3-2-<0,得00恒成立,即对x∈,a>2-恒成立,令I(x)=2-,x∈,则I'(x)=-,再令m(x)=2lnx+-2,x∈,则m'(x)=<0,故m(x)在内为减函数,于是m(x)>m=2-2ln2>0,即I'(x)>0,于是I(x)在上为增函数,∴I(x)2-恒成立,只要a∈[2-4ln2,+∞).综上,若函数f(x)在上无零点,则a的最小值为2-4ln2.5.(1)解函数f(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),由f(x)=lnx+,得f'(x)=,因为a>0,则x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,当x=a时,f(x)min=lna+1,当lna+1≤0,即00,则函数f(x)有零点.所以实数a的取值范围为.(2)证明要证明f(lnb)>,即证ln(lnb)+,令t=lnb>0(b>1),则b=et,所以只需证l...
