11.5数学归纳法[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n>n2(n≥5，n∈N*)，第一步应验证()A．n＝4B．n＝5C．n＝6D．n＝7答案B解析根据数学归纳法的步骤，首先要验证n取第一个值时命题成立，又n≥5，故第一步验证n＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是()A．(k＋1)2＋2k2B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1]答案B解析由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.故选B.3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案A解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30B．26C．36D．6答案C解析 f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除． f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于()A．3k－1B．3k＋1C．8kD．9k答案C解析因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1答案C解析1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成11＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．故选C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n；正方形数N(n,4)＝n2；五边形数N(n,5)＝n2－n；六边形数N(n,6)＝2n2－n.可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝()A．500B．1000C．1500D．2000答案B解析由已知得，N(n,3)＝n2＋n＝n2＋n，N(n,4)＝n2＝n2＋n，N(n,5)＝n2－n＝n2＋n，N(n,6)＝2n2－n＝n2＋n，根据归纳推理可得，N(n，k)＝n2＋n.所以N(10,24)＝×102＋×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{an}满足an＋5an＋1＝36n＋18，n∈N*，且a1＝4，猜想其通项公式为()A．3n＋1B．4nC．5n－1D．6n－2答案D解析由a1＝4求得a2＝10，a3＝16，经检验an＝6n－2.故选D.二、填空题9．设Sn＝1＋＋＋＋…＋，则Sn＋1－Sn＝______.答案＋＋＋…＋解析Sn＋1＝1＋＋＋＋…＋Sn＋1－Sn＝＋＋＋…＋.10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则用n表示的f(n)＝________.答案3n2－3n＋1解析由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推测当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋[f(n－2)－f(n－3)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f(n)＝3n2－3n＋1.11．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算...
