第三节三角恒等变换利用三角恒等变换求值考向聚焦利用三角恒等变换求三角函数值是常考内容,主要体现在:(1)把三角恒等变换作为工具来解决三角函数问题,即利用两角和与差的三角公式、倍角公式进行三角函数式的化简、求值问题;(2)在题目设置上多出现三角函数公式的正用、逆用、变形用以及特定条件下的使用,以考查学生对公式的掌握,常以客观题的形式出现,属于中档以下题目,所占分值为5分左右备考指津训练题型:(1)三角恒等变换一般解题模式,其中特别要注重遇切弦,化统一,遇多元,想消元,遇差异,想联系,遇特角,想求值等;(2)角的配凑形式,提升思维起点,缩短思维路线1.(年四川卷,文5,5分)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin∠CED等于()(A)(B)(C)(D)解析:由图可知sin∠AED=cos∠AED=,sin∠BEC=,cos∠BEC=,∴sin∠CED=sin(∠AED-∠BEC)=sin∠AEDcos∠BEC-cos∠AEDsin∠BEC=(-)=,故选B.答案:B.2.(年全国大纲卷,文4,5分)已知α为第二象限角,sinα=,则sin2α等于()(A)-(B)-(C)(D)解析: α为第二象限角,且sinα=,∴cosα=-=-=-;sin2α=2sinαcosα=2×(-)×=-,故选A.答案:A.3.(年江西卷,文9,5分)已知f(x)=sin2(x+).若a=f(lg5),b=f(lg),则()(A)a+b=0(B)a-b=0(C)a+b=1(D)a-b=1解析:本题考查三角恒等变换,二倍角公式,三角函数的奇偶性,对数的性质以及换元法的思想.法一:因为f(x)=sin2(x+)==,令lg5=t,则lg=-t,所以a=f(lg5)=f(t)=,b=f(lg)=f(-t)=,所以a+b=1.故应选C.法二:因为f(x)=sin2(x+)==,所以2f(x)-1=sin2x.设g(x)=2f(x)-1,则函数g(x)为奇函数.令lg5=t,则lg=-t,则g(t)+g(-t)=2f(t)-1+2f(-t)-1=0,所以f(t)+f(-t)=1.即a+b=1.故应选C.答案:C.本题的难点在于三角函数的变换,熟练掌握三角函数的各种公式,并能灵活应用是解题的关键.法一是常规解法,直接换元后代入解析式消元求值;法二奇妙地利用了三角函数的奇偶性,将非奇函数转化为奇函数来求解,其求解的依据是奇函数的定义,函数g(t)是奇函数等价于g(t)+g(-t)=0.4.(年辽宁卷,文6,5分)已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则sin2α=()(A)-1(B)-(C)(D)1解析:由sinα-cosα=两边平方得1-2sinαcosα=2,∴1-sin2α=2,∴sin2α=-1.答案:A.5.(年福建卷,文9)若α∈(0,),且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于()(A)(B)(C)(D)解析:由sin2α+cos2α=得sin2α+cos2α-sin2α=,即cos2α=,又α∈(0,),∴cosα=,∴α=,则tanα=.答案:D.6.(年全国新课标卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ等于()(A)-(B)-(C)(D)解析:因为终边在直线y=2x上,所以tanθ=2.所以cos2θ=cos2θ-sin2θ====-.故选B.答案:B.7.(年湖北卷,文6)已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为()(A){x|2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z}(B){x|kπ+≤x≤kπ+π,k∈Z}(C){x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}(D){x|kπ+≤x≤kπ+,k∈Z}解析: f(x)=sinx-cosx=2sin(x-)≥1,∴sin(x-)≥,∴2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z,故选A.答案:A.8.(年全国新课标卷,文10)若cosα=-,α是第三象限的角,则sin(α+)等于()(A)-(B)(C)-(D)解析: cosα=-且α为第三象限的角,∴sinα=-,∴sin(α+)=sinαcos+cosαsin=(sinα+cosα)=×(--)=-,故选A.答案:A.本题考查了给值求值问题,在已知cosα=-时要注意α为第三象限的角这一条件,否则会出现增值;另外应用了两角和的正弦公式.9.(年江苏数学,11,5分)设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为.解析:本题考查三角恒等变形、同角三角函数的基本关系. cos(α+)=,∴α+∈(0,),∴sin(α+)=,∴sin(2α+)=2cos(α+)sin(α+)=2××=,cos(2α+)=2cos2(α+)-1=,∴sin(2α+)=sin[(2α+)-]=sin(2α+)cos-cos(2α+)sin=.答案:10.(年江苏卷,7)已知tan(x+)=2,则的值为.解析:由tan(x+)=2得=2,即=2,∴tanx=,∴====.答案:11.(年四川卷,文18,12分)已知函数f(x)=cos2-sincos-.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=,求sin2α的值.解:(1)由已知,f(x)=cos2-sincos-=(1+cosx)-sinx-=cos(x+).所以f(x)的最小正周期为2π,值域为[-,].(2)由(1)知,f(α)=cos(α+)=,所以cos(α+)=,所以sin2α=-cos(+2α)=-cos2(α+)=1-2cos2(...
