第四节数列的综合应用等差与等比数列的综合考向聚焦高考必考内容,多以解答题形式考查,主要涉及等差、等比数列的判定与证明、通项及前n项和的求解问题,有时涉及其他知识,难度中档,分值一般为12分备考指津解决此类问题的关键是掌握等差、等比数列的基本知识及常见递推公式的变形及一般数列求和问题,注意运算变形的技巧及方程思想和整体思想的运用1.(年上海卷,理18)设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件为()(A){an}是等比数列(B)a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列(C)a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列(D)a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同解析:Ai=aiai+1.对{An}数列中相邻的两项Ai,Ai+1.若{An}为等比数列(公比为q),则=q,即=q,∴=q,即数列{an}中每隔一项挑出的项组成了一个以公比为q的等比数列.也就是说a1、a3、a5…、、a2n-1…和a2、a4、a6…、、a2n…均是等比数列,且公比相同.反之,若a1、a3…、、a2n-1…、和a2、a4、a6…、、a2n…均是等比数列,且公比为q,则=q,=q,∴==q,==q.即{An}为等比数列.故选D.答案:D.2.(年江苏卷,13)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是.解析:设a2=m,则1≤m≤q≤m+1≤q2≤m+2≤q3, m≥1,∴q≥max{m,,}≥.答案:3.(年江西卷,理16,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an;(2)求数列{}的前n项和Tn.解:(1)当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值8,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).又a1=S1=,所以an=-n.(2)设bn==,Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.利用an=来实现an与Sn的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一,灵活运用该公式能较简洁地解决涉及an,Sn的有关问题;当某个数列是由一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积构成时,此数列的前n项和一般可用错位相减法求得.4.(年陕西卷,理17,12分)设{an}是公比不为1的等比数列,其前n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列.(1)求数列{an}的公比;(2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.(1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1),由2a3=a5+a4得2a1q2=a1q4+a1q3,由等比数列定义知:q≠0,a1≠0,∴q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍).∴q=-2.(2)证明:要证Sk+2、Sk、Sk+1成等差数列,法一:只需证2Sk=Sk+2+Sk+12Sk==a1(1-qk)=a1[1-(-2)k],Sk+2+Sk+1=+=(1-qk+2+1-qk+1)=[2-qk+1(1+q)]=[2+(-2)k+1]=a1[1-(-2)k]∴2Sk=Sk+2+Sk+1成立.法二:只需证Sk-Sk+2=Sk+1-Sk.Sk-Sk+2=-(Sk+2-Sk)=-(ak+2+ak+1)=-(akq2+akq)=-akq(q+1)=akq=ak+1Sk+1-Sk=ak+1∴Sk-Sk+2=Sk+1-Sk成立;因此,对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.5.(年辽宁卷,理17)已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件得,解得,∴数列{an}的通项公式为an=2-n(n∈N*).(2)设数列{}的前n项和为Sn, =,∴Sn=++++…+,①则Sn=+++…++,②①-②得Sn=1-(+++…+)-=1-(1-)-=,∴Sn=(n∈N*).6.(年浙江卷,理19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),设数列的前n项和为Sn,且,,成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式及Sn;(2)记An=+++…+,Bn=+++…+,当n≥2时,试比较An与Bn的大小.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由()2=·,得(a1+d)2=a1(a1+3d),因为d≠0,所以d=a1=a,所以an=na,Sn=.(2)因为=(-),所以An=+++…+=(1-).因为=2n-1a,所以Bn=+++…+=·=(1-).当n≥2时,2n=+++…+>n+1,即1-<1-,所以,当a>0时,An
Bn.数列的综合应用考向聚焦高考难点内容,多在解答题中考查数列与其他知识(函数、不等式、导数、解析几何等)的综合及数列的实际应用问题,难度较大,分值约为12分备考指津解决此类问题的关键抓住数列与相关知识的交汇点,将问题拆解,同时注重等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的运用7.(年山东卷,理9)设{an}是等比数列,“则a1
