第四节数列的综合应用等差与等比数列的综合考向聚焦高考必考内容,多以解答题形式考查,主要涉及等差、等比数列的判定与证明、通项及前n项和的求解问题,有时涉及其他知识,难度中档,分值一般为12分备考指津解决此类问题的关键是掌握等差、等比数列的基本知识及常见递推公式的变形及一般数列求和问题,注意运算变形的技巧及方程思想和整体思想的运用1.(年湖北卷,文7)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于()(A)1+(B)1-(C)3+2(D)3-2解析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,又a1>0,q>0,∴q2-2q-1=0,解得q=+1.∴==q2=(+1)2=3+2,故选C.答案:C.等差、等比数列的基本运算是数列重要的考点,本题将两个特殊数列交织在一起,主要考查等差数列和等比数列的基本运算和性质,“解决本题需注意{an}”各项都是正数.2.(年江苏卷,13)设1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列,a2,a4,a6成公差为1的等差数列,则q的最小值是.解析:设a2=m,则1≤m≤q≤m+1≤q2≤m+2≤q3, m≥1,∴q≥max{m,,}≥.答案:3.(年福建卷,文17,12分)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.(1)求an和bn;(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,依题意得:S10=10+d=55,b4=q3=8,解得d=1,q=2,an=n,bn=2n-1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),共9个.符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2),故所求概率P=.本题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,属容易题.4.(年陕西卷,文16,12分)已知等比数列{an}的公比q=-.(1)若a3=,求数列{an}的前n项和;(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.解:(1)由通项公式可得a3=a1(-)2=得a1=1,再由等比数列求和公式得:Sn==.(2)证明: k∈N+,∴2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1)=a1qk-1(2(-)2-(-)-1)=0,∴2ak+2-(ak+ak+1)=0,∴对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质,关键要把握两种基本数列的相关知识.5.(年湖北卷,文17)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.(1)解:设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d,依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故{bn}的第3项为5,公比为2,由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-3(n∈N*).(2)证明:数列{bn}的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-2.所以S1+=,==2.因此{Sn+}是以为首项,公比为2的等比数列.6.(年浙江卷,文19)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R),且,,成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)对n∈N*,试比较+++…+与的大小.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意可知()2=·,即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d≠0,所以d=a1=a,故通项公式an=na.(2)记Tn=++…+,因为=2na,所以Tn=(++…+)=·=[1-()n],从而,当a>0时,Tn<;当a<0时,Tn>.数列的综合应用考向聚焦高考难点内容,多在解答题中考查数列与其他知识(函数、不等式、导数、解析几何等)的综合及数列的实际应用问题,难度较大,分值约为12分备考指津解决此类问题的关键抓住数列与相关知识的交汇点,将问题拆解,同时注重等价转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想的运用7.(年福建卷,文11,5分)数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S等于()(A)1006(B)(C)503(D)0解析: an=ncos,∴当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=,其中m∈N*,∴S=a1+a2+a3+a4+a5+…+a=a2+a4+a6+a8+…+a=-2+4-6+8-10+12-14+…+=-(2+6+10+14+…+)+(4+8+12+…+)=-+=1006.故选A.本题所给通项公式具有规律性,要求学生要发现规律,转化为熟悉的等差数列求和,对转化能力要求...
