第一节数列的概念及其表示数列的通项公式与递推公式考向聚焦高考常考内容,主要考查归纳推理思想,常见类型有:(1)累加法(累乘法)求通项并应用;(2)数列的函数特性,多以选择、填空题形式或解答题的第(1)问出现,所占分值5分左右备考指津训练内容:(1)累加法、累乘法、构造转化法等求通项的常用方法;(2)利用函数单调性的方法判断数列的性质并应用;(3)注意归纳猜想方法的应用1.(年新课标全国卷,理16,5分)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为.解析:∵an+1+(-1)nan=2n-1∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1①当n=2k+1(k∈N)时,a2k+2-a2k+1=4k+1②由①+②得a2k+a2k+2=8k令k=1,3,5,…,29可得a2+a4=8×1,a6+a8=8×3,a10+a12=8×5,…a58+a60=8×29,把以上15个等式相加得a2+a4+a6+…+a60=8×=1800.又由②知a2k+1=a2k+2-(4k+1),令k=0,1,2,3,…,29可得a1=a2-(4×0+1)a3=a4-(4×1+1)a5=a6-(4×2+1)…a59=a60-(4×29+1)把以上30个等式相加得a1+a3+a5+…+a59=(a2+a4+a6+…+a60)-[4×(0+1+2+…+29)+30]=1800-[+30]=30.∴a1+a2+a3+…+a60=1800+30=1830.答案:18302.(年辽宁卷,理16)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为.解析:由an+1-an=2n,a1=33,得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+2(n-3)+…+2+33=+33=n2-n+33,∴==n+-1,∵n∈N*,∴当n=6时,有最小值.答案:3.(年新课标全国卷,理17)设数列{an}满足a1=2,an+1-an=3·22n-1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n·22n-1知Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1①从而22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1②①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即Sn=[(3n-1)22n+1+2].利用an与Sn的关系解题考向聚焦高考热点内容,主要考查利用an与Sn的关系:an=解决前n项和与通项的问题,多以选择、填空形式考查,有时在解答题中涉及,难度中低档,分值占5分左右备考指津强化训练题型:(1)利用an与Sn的关系求an或某项;(2)利用an与Sn的关系研究和的问题;(3)熟记并理解an与Sn的关系4.(年江西卷,理5)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10等于()(A)1(B)9(C)10(D)55解析:由Sn+Sm=Sn+m得S1+S9=S10,即S1=S10-S9,∴S1=a10,即a1=a10.∴a10=1.答案:A.5.(年江苏卷,19)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{}是公差为d的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式(用n,d表示);(2)设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立,求证:c的最大值为.(1)解:∵{}是等差数列,∴2=+.又2a2=a1+a3,∴2=+,(*)将(*)式两边平方整理得3a1+a2=2,即(-)2=0,∴a2=3a1,∴d=-=2-=,即=d,∴=+(n-1)d=nd,∴Sn=n2d2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且对n=1成立,∴an=(2n-1)d2(n∈N*).(2)证明:由Sm+Sn>cSk得m2+n2>ck2,即c<,∵m+n=3k,∴==.∵2mn,∴c≤,∴c的最大值为.(年广东卷,理20)设b>0,数列{an}满足a1=b,an=(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,an≤+1.难题特色:本题(1)中将分类讨论思想与构造法求通项公式问题结合在一起命题,体现了思想与方法于一体的特色,本题(2)中巧妙地考查了基本不等式在数列中的应用.难点突破:本题(1)中的关键是构造cn=cn-1+并注意b的取值的不定性.本题(2)中的解题关键在于利用基本不等式推证≥(后再次利用基本不等式推证+1≥2·(.(1)解:由题设知an=(n≥2),所以==×+(n≥2),设cn=,得cn=cn-1+(n≥2),c1=,当b=2时,cn-cn-1=(n≥2),c1=;则{cn}是首项与公差均为的等差数列,即cn=,得an=2;当b>0且b≠2时,cn+=(cn-1+)(n≥2),c1+=+=≠0,则{cn+}是首项为,公比为的等比数列,即cn+=·()n-1=()n,得cn=,所以an=.综上所述:an=(2)证明:由(1)及题设知当b=2时,+1=2=an,原不等式显然成立.当b>0且b≠2时,=====·;=≥=(,∴≥(=(,即an≤2(,又+1≥2=2(.综上所述:对于一切正整数n,an≤+1.
