第一节数列的概念及其表示数列的通项公式与递推公式考向聚焦高考常考内容,主要考查归纳推理思想,常见类型有:(1)累加法(累乘法)求通项并应用;(2)数列的函数特性,多以选择、填空题形式或解答题的第(1)问出现,所占分值5分左右备考指津训练内容:(1)累加法、累乘法、构造转化法等求通项的常用方法;(2)利用函数单调性的方法判断数列的性质并应用;(3)注意归纳猜想方法的应用1.(年新课标全国卷,文12,5分)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为()(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830解析: an+1+(-1)nan=2n-1,∴当n=2k(k∈N*)时,a2k+1+a2k=4k-1①当n=2k+1(k∈N)时,a2k+2-a2k+1=4k+1②①+②得:a2k+a2k+2=8k.令k=1,3,5,…,29可得a2+a4=8×1a6+a8=8×3a10+a12=8×5…a58+a60=8×29把以上15个等式相加得:a2+a4+a6+a8+…+a60=8×=1800.由于②a2k+1=a2k+2-(4k+1),令k=0,1,2,…,29可得a1=a2-(4×0+1)a3=a4-(4×1+1)a5=a6-(4×2+1)…a59=a60-(4×29+1)把以上30个等式相加得a1+a3+a5+…+a59=a2+a4+…+a60-[4×(0+1+2+…+29)+30]=1800-(4×+30)=30,∴a1+a2+…+a60=1800+30=1830.故选D.答案:D.2.(年安徽卷,文7)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10等于()(A)15(B)12(C)-12(D)-15解析:由an=(-1)n(3n-2),得S10=(-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28)=5×3=15.故选A.答案:A.3.(年浙江卷,文17)若数列{n(n+4)()n}中的最大项是第k项,则k=.解析:法一:设数列为{an},则an+1-an=(n+1)(n+5)()n+1-n(n+4)()n=()n[(n2+6n+5)-n2-4n]=(10-n2),所以当n≤3时,an+1>an,即a1
a5>a6>…,故a4最大,所以k=4.法二:由题意得,化简得.又 k∈N*,∴k=4.答案:44.(年广东卷,文19,14分)设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.解:(1)由题意a1=S1=T1,Tn=2Sn-n2,令n=1得a1=2a1-1,∴a1=1.(2)由Tn=2Sn-n2①得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2)②①-②得Sn=2an-2n+1(n≥2),验证n=1时也成立.∴Sn=2an-2n+1③则Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2)④③-④得an=2an-2an-1-2,即an+2=2(an-1+2),故数列{an+2}是公比为2的等比数列,首项为3,所以an+2=3·2n-1,从而an=3·2n-1-2.本小题由Tn=2Sn-n2化简过程中,等式两侧同时应用了数列的通项与前n项的关系,最终转化为等比数列求通项问题.利用an与Sn的关系解题考向聚焦高考热点内容,主要考查利用an与Sn的关系:an=解决前n项和与通项的问题,多以选择、填空形式考查,有时在解答题中涉及,难度中低档,分值占5分左右备考指津强化训练题型:(1)利用an与Sn的关系求an或某项;(2)利用an与Sn的关系研究和的问题;(3)熟记并理解an与Sn的关系5.(年全国大纲卷,文6,5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()(A)2n-1(B)()n-1(C)()n-1(D)解析:法一:由Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)可知,∴3Sn=2Sn+1,即Sn+1=Sn,∴数列{Sn}是首项为S1=1,公比为的等比数列,∴Sn=()n-1,故选B.法二:由Sn=2an+1①可知a2=S1=,当n≥2时,Sn-1=2an,②∴①-②并化简得an+1=an(n≥2),即{an}从第二项起是首项为,公比为的等比数列,∴Sn=a1+=1+()n-1-1=()n-1(n≥2),当n=1时,满足上式,故选B.法三:特殊值法,由Sn=2an+1及a1=1,可得a2=S1=,∴当n=2时,S2=a1+a2=1+=,观察四个选项得B正确,故选B.答案:B.本题主要考查由数列的递推式研究数列的性质,等比数列的判断及前n项和的求法.掌握数列的前n项和与数列的第n项的关系是求解的关键.6.(年四川卷,文9)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6等于()(A)3×44(B)3×44+1(C)45(D)45+1解析:当n≥1时,an+1=Sn+1-Sn,由an+1=3Sn,∴Sn+1-Sn=3Sn,∴Sn+1=4Sn,∴{Sn}是以S1=1为首项,4为公比的等比数列,∴Sn=4n-1,∴an+1=3Sn=3·4n-1.∴a6=3×44.故选A.答案:A.7.(年全国大纲卷,文18,12分)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3,由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n>1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1,于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…an-1=an-2,an=an-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.综上,{an}的通项公式...
