备战数学应考能力大提升典型例题例1某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．（III“）从合唱团中任选两名学生，记这两人中一人参加1次活动，另一人参加2”次活动为事件“，这两人中一人参加2次活动，另一人参加3”次活动为事件“，这两人中一人参加1次活动，另一人参加3”次活动为事件．易知；；的分布列：0121231020304050参加人数活动次数的数学期望：．例2在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n（）==20.根据分步乘法计数原理，n(A）==12．于是.(2）因为n(AB)＝=6，所以.(3）解法1由（1)(2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概.解法2因为n(AB）=6,n(A）=12，所以.创新题型1.将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为a、b.(1)求点P(a，b)落在区域内的概率；(2)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率．2.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率。(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。参考答案1.【解析】(1)先后两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，则事件总数为6×6＝36.∴表示的平面区域如图所示：当a＝1时，b＝1,2,3,4a＝2时，b＝1,2,3a＝3时，b＝1,2a＝4时，b＝1共有(1,1)，(1,2)…，，(4,1)10种情况，∴P＝＝.(2)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的充要条件是＝1，即a2＋b2＝25，∵a、b∈{1,2,3,4,5,6}，满足条件的情况只有：a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况，∴直线与圆相切的概率P＝＝.∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1不相切的概率P＝1－＝.2解：设第i次按对密码为事件(i=1,2)，则表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件与事件互斥，由概率的加法公式得
