第二节排列组合基础梳理排列与排列数组合与组合数定义1.排列的概念:从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Amn表示.3.n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列,即,称为n的,通常用n!表示.1.组合的概念:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.2.组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示.按照一定的顺序排成一列所有排列的个数阶乘nnAnnA并成一组所有组合的个数典例分析题型一排除法【例1】从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有种.分析逆向思考,“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”.解全部方案有种,减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有-=186(种).37A37A34A34A学后反思关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意:“至少一个”的否定为“一个没有”;“至多一个”的否定为“至少两个”;“至少N个”的否定为“至多N-1个”;“至多N个”的否定为“至少N+1个”.举一反三1.(2009·全国Ⅱ改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.答案:30解析:间接法:(种).22244430CCC题型二基本排列问题【例2】从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种(用数字作答).学后反思解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题,主要方法是将这些特殊元素排在其他位置,或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.分析先选甲、乙以外的人担任文娱委员,然后再选其他委员.解先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,=3×4×3=36(种).1234AA举一反三2.(2008·全国改编)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块地里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为.答案:84解析:分三类:种两种花有2种种法;种三种花有2种种法;种四种花有种种法.共有+2+=84(种).24C34A44A24A34A44A题型三有限制条件的排列【例3】有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男、女生分别排在一起;(4)男女相间.分析这是一个排列问题,一般情况下,我们会从受到限制的特殊元素开始考虑,有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题,常用“捆绑法”;对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑);对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑).解(1)方法一(元素分析法):先排甲有6种,其余有A88种,故共有6=241920(种)排法.方法二(位置分析法):中间和两端有种排法,包括甲在内的其余6人有种排法,故共有=336×720=241920(种)排法.方法三(间接法):-3=6=241920(种).(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有=10080(种)排法.(3)(捆绑法)=5760(种).(4)(插空法)先排4名男生有(种)方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有=2880(种)排法.88A38A66A3686AA99A88A88A2727AA245245AAA44A4545AA学后反思本题集排列的多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.举一反三3.(2007·全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有种.答案:60解析:星期五有2人参加,则从5人中选2人的组合数为,星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列,有种,则共有=60(种).25C23A2253CA题型四基本...