【成才之路】届高考数学二轮复习专题1第5讲导数及其应用素能训练（文、理）一、选择题1．(文)(·郑州市质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．1B．－1C．－e－1D．－e[答案]C[解析]依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1，故选C.(理)(·云南检测)已知常数a、b、c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B.C．2D．5[答案]C[解析]依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a>0，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.2．(文)(·长春市调研)已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A．(－，3)B．(0，－4)C．(2,3)D.(1，－)[答案]D[解析]由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1∶y＝2x1x－x，l2∶y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0， x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.(理)在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]依题意得，y′＝3x2－9，令00，b>0)的焦距为2，抛物线y＝x2＋1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D.x2－＝1[答案]C[解析] y＝x2＋1，∴y′＝x，设切点(x0，y0)，则切线方程y－y0＝x0(x－x0)， 切线过原点，∴y0＝x①，又切点在抛物线上，∴y0＝x＋1②，由(1)(2)得x0＝±4，∴＝|x0|＝，∴a＝2b，代入a2＋b2＝c2＝5中得b2＝1，a2＝4，∴双曲线方程为－y2＝1.(理)(·吉林市质检)若函数f(x)＝2sinx(x∈[0，π])在点P处的切线平行于函数g(x)＝2·(＋1)在点Q处的切线，则直线PQ的斜率()A．1B.C.D.2[答案]C[解析]f′(x)＝2cosx，x∈[0，π]，∴f′(x)∈[－2,2]，g′(x)＝＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意知，2cosx1＝＋，∴2cosx1＝2且＋＝2， x1∈[0，π]，∴x1＝0，∴y1＝0，x2＝1，y2＝，∴kPQ＝＝.4．(文)(·浙江文，8)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是()[答案]B[解析]本题考查原函数图象与导函数图象之间的关系．由导数的几何意义可得，y＝f(x)在[－1,0]上每一点处的斜率变大，而在[0,1]上则变小，故选B.(理)(·石家庄市质检)定义在区间[0,1]上的函数f(x)的图象如下图所示，以A(0，f(0))、B(1，f(1))、C(x，f(x))为顶点的△ABC的面积记为函数S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的大致图象为()[答案]D[解析] A、B为定点，∴|AB|为定值，∴△ABC的面积S(x)随点C到直线AB的距离d而变化，而d随x的变化情况为增大→减小→0→增大→减小，∴△ABC的面积先增大再减小，当A、B、C三点共线时，构不成三角形；然后△ABC的面积再逐渐增大，最后再逐渐减小，观察图象可知，选D.5．(·山西大学附中月考)已知函数f0(x)＝xex，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*)，则f′(0)＝()A．B．C．D．[答案]C[解析] f0(x)＝xex，∴f1(x)＝f0′(x)＝ex＋xex，f2(x)＝f1′(x)＝2ex＋xex，…，∴fn(x)＝fn－1′(x)＝nex＋xex，∴f′(0)＝f(0)＝e0＋0＝.6．(·天津文，8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a、b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)<01，∴f(b)＝e...
