【成才之路】届高考数学二轮复习专题4第3讲空间向量及其应用素能训练（文、理）一、选择题1．(·北京理，7)在空间直角坐标系O－xyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥D－ABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1[答案]D[解析]D－ABC在xOy平面上的投影为△ABC，故S1＝AB·BC＝2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则D－ABC在yOz和zOx平面上的投影分别为△OCD2和△OAD3， D2(0,1，)，D3(1,0，)．故S2＝×2×＝，S3＝×2×＝，综上，选项D正确．2．(·天津和平区模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C.D.[答案]B[解析]以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)， AA1＝2AB，∴E(0,0,1)，∴BE＝(－1,0,1)，CD1＝(－1,0,2)，∴cos〈BE，CD1〉＝＝＝，故选B.3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.C.D.[答案]B[解析]如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图．设△ABC边长为1，则A(，0,0)，B1(－，，)，∴AB1＝(－，，)．平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝.4．(·吉林九校联合体二模)如图，在四面体OABC中，已知AC＝BC，|OA|＝3，|OB|＝1，则OC·BA()A．8B．6C．4D．3[答案]C[解析]如图，取AB的中点D， AC＝BC，∴AB⊥DC，OC＝OD＋DC，又OD＝(OA＋OB)，∴OC·BA＝(OD＋DC)·BA＝OD·BA＝(OA＋OB)·(OA－OB)＝(OA2－OB2)＝(9－1)＝4.5．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角[答案]D[解析] 四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又 SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC. SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SDB，从而AC⊥SB.故A正确．易知B正确．设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确．由排除法可知选D.6．正四面体ABCD的棱长为1，G是△ABC的中心，M在线段DG上，且∠AMB＝90°，则GM的长为()A.B.C.D.[答案]D[解析]解法一：取AB的中点N，由正四面体的对称性可知△AMB为等腰三角形，∴MN＝AB＝.又G为△ABC的中心，∴NG＝，故MG＝＝.解法二：设DA＝a，DB＝b，DC＝c，AM＝AD＋λDG＝－a＋(a＋b＋c)＝(－1)a＋b＋c，BM＝BA＋AM＝(a－b)＋(－1)a＋b＋c＝a＋(－1)b＋c.由AM·BM＝0，ab＝bc＝ac＝，可解得λ＝.|MG|＝|DG|＝.二、填空题7．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．[答案]a[解析]设M(0，m，m)(0≤m≤a)，AD1＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝(－，0，)，MD1＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值()2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a.8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)[答案]①③[解析]在正方体中，AB1＝BC1， M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠，∴当M为AB1的中点时，N为BC1的中点，即B1C的中点，此时MN∥AC∥A1C1，否则MN与A1C1异面，∴②④都错；在BB1上取点E，使NE∥B1C1，则＝＝，∴ME∥AB∥A1B1，∴平面MNE∥平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥MN，故①③正确．三、解答题9.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，A1D1＝2，A1A＝2，点P是AD1上的动点．(1)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余...
