【成才之路】-学年高中数学5.2复数的四则运算基础巩固北师大版选修2-2一、选择题1．(·天津理，1)i是虚数单位，复数＝()A．1－iB.－1＋iC.＋iD．－＋i[答案]A[解析]原式＝＝＝1－i，故选A.2．(·福建理，1)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i[答案]C[解析] z＝(3－2i)i＝3i＋2，∴＝2－3i，复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi，3．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]D[解析]本题主要考查复数的运算及复数的几何意义． z＝＝＝＝－i.∴z在复平面由对应的点为(，－)，故选D.二、填空题4．(·江苏，3)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．[答案]8[解析]本题考查复数除法运算及复数相等的条件． ＝＝＝＝5＋3i，复数除法运算就是将分子、分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化．5．已知f(z)＝|1＋z|－且f(－z)＝10＋3i，则复数z＝__________.[答案]5－3i[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则－z＝－x－yi，由f(－z)＝10＋3i，得|1＋(－z)|－＝10＋3i，|(1－x)－yi|－(－x＋yi)＝10＋3i，∴解之得x＝5，y＝－3，∴所以z＝5－3i.三、解答题6．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．[分析]将z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)代入z＋，分别化为代数形式．[解析]设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.由已知得z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝(x＋)＋(y－)i. z＋是实数，∴y－＝0，即x2＋y2＝1，且x≠±1，∴＝＝＝＝－i. y≠0，x≠－1，∴是纯虚数．[点评]充分利用复数的代数形式：z＝a＋bi(a，b∈R)，代入到已知条件，利用复数的四则运算化简，即可得要证的结果.一、选择题1．(·湖南理，1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i[答案]B[解析]由题可得＝i⇒z＋i＝zi⇒z(1－i)＝－i⇒z＝＝－i，故选B.2．(·辽宁理，2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i[答案]A[解析]z－2i＝＝2＋i，∴z＝2＋3i.3．已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“⊗”为：z1⊗z2＝当z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1⊗z2＝()A．5＋2iB．1＋2iC．9＋7iD．1－4i[答案]A[解析]由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|<|z2|，故由新“运算”法则，得z1⊗z2＝z1－z2＝(3－i)－(－2－3i)＝5＋2i，选A.[点评]读懂运算法则是解此类题的关键．4．若z2＋z＋1＝0，则z＋z＋z＋z的值是()A．2B.－2C．－＋iD.－±i[答案]B[解析]由z2＋z＋1＝0，不难联想到立方差公式，从而将z得出．将z2＋z＋1＝0两边同乘(z－1)，得z3－1＝0，即z3＝1(z≠1)．则z4＝z，z＝(z3)667·z＝z，于是，原式＝z(1＋z＋z3＋z4)＝z(2＋2z)＝2(z＋z2)＝－2.5．复数z满足方程＝4，那么复数z在复平面内的对应点Z的轨迹是()A．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆B．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆C．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆D．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[答案]C[解析]＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4，设－1＋i的对应点为C(－1,1)，则|ZC|＝4，因此动点Z的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆，故应选C.二、填空题6．设＝＋(x，y∈R)，则x＝____，y＝____.[答案]；－[解析]由已知得＝＋，整理得－i＝＋＋i.所以解得7．若方程x2＋x＋m＝0有两个虚根α，β，且|α－β|＝3，则实数m的值为________．[答案][解析]实系数一元二次方程的求解问题不能简单地利用根与系数的关系来解，应由方程的根适应方程及相关知识来解．因为方程x2＋x＋m＝0为实系数一元二次方程，且有两个虚根α，β，所以α，β互为共轭复数．设α＝a＋bi(a，b∈R)，则β＝a－bi，由|α－β|＝3，得b＝±.当b＝时，α＝a＋i，代入方程，得2＋＋m＝0，即＋i＝0.所以得出三、解答题8．设f(n)＝()n＋()n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}中的元素个数是多少？[解析] ＝i，＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n，设k∈N.当n＝4k时，f(n)＝2.当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0.当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2.当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k(－i)3＝0.∴{x|x＝f(n)}中有三个元素．9．已知若z1，z2是非零复数，且|...
