高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例（第2课时）练习 北师大版必修5VIP免费

第二章§3第2课时一、选择题1．甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A．minB．hC．21.5minD．2.15h[答案]A[解析]如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－)＝28x2－20x＋100.当x＝－＝时，s2最小，此时x＝h＝min.2．如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于()A．B．C．D．[答案]A[解析]由tanα＝，tanβ＝，联立解得AB＝.3．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．2D．2[答案]D[解析]由题意，得F1＋F2＋F3＝0，∴F1＋F2＝－F3，∴(F1＋F2)2＝F32，∴F12＋F22＋2F1·F2＝F32，∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝F32，∴F32＝28，∴|F3|＝2.故选D．4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5海里B．5海里C．10海里D．10海里[答案]C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，求得AB＝5，∴这艘船的速度是＝10(海里/小时)．5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距()A．10米B．100米C．20米D．30米[答案]D[解析]设炮台顶部为A，两条船分别为B，C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得BD＝30，DC＝30.在△DBC中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC＝30.6.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是()A．20(1＋)mB．20(1＋)mC．10(＋)mD．20(＋)m[答案]B[解析]由仰角与俯角的意义可知，∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，又EC＝20m，∴BC＝AE＝20m，在△AED中，DE＝AEtan60°＝20m.∴塔吊的高度是20(1＋)m.二、填空题7．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.[答案]210[解析]由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝902＋1502－2×90×150×(－)＝44100.∴AB＝210，DE＝210.8．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．[答案]30°[解析]水流速度与船速的合速度为v，方向指向河岸，如图由题意可知sinα＝＝＝∴α＝30°.三、解答题9．如图所示，海中一小岛周围3.8nmile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8nmile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．[解析]在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．10．海岛O上有一座海拔1km的山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？[解析](1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAcot60°＝，OC＝OAcot30°＝，在△BOC中，由余弦定理得BC＝＝. 由C到B用的时间为＝(小时)，∴该船的速度为＝2(千米/小时)．(2)在△OBC中，由余弦定理，得cos∠OBC＝＝，∴sin∠OBC＝＝.∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)＝si...