习题5-2高数一组（A）1、用比较审敛法判断下列级数的敛散性（1）解：由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。（2）解：收敛，由比较审敛法得原式收敛。（3）解：==-()=--=由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。(4)解：正弦函数在（0，）单调递增，单调递减，且小于等于1，x得：。由收敛，得原式收敛。（5）解：n，得。当n=1时，=0.当n又正弦函数在（0，）单调递增，由发散，得发散，得原式发散。（6）解：=由收敛，得收敛，得原式收敛。（7）()解：()=有p级数易得收敛，所以原式收敛。=x-+o())（8）（a解：当a=1时，原式=,显然发散。当a=.当a当a2、用比值审敛法判别下列级数的敛散性。（1）解：=（2）解：=。（3）解：==.（4）解：==.（5）解：==,（6）解：==,3、用根值审敛法判别下列级数的敛散性。解：=,。（1）解：=,。（2）(a)解：=,。（3）解：=又。（4）解：=。4、用适当的方法判别下列级数的敛散性。（1）()解：,由发散，得发散。由比较审敛法得原式发散。（2）解：（3）解：=（4）解：=(令t=)。（5）(a)解：当b当b，a)，易得ab)a鈮b时，综上得ba时原式收敛，其余情况皆发散。5、判别下列级数是否收敛，如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：,=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。有p级数易得发散，所以原式条件收敛。解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。=解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。发散易得原式条件收敛。（1）解：=0,由莱布尼茨审敛法得原式收敛。,由p级数易得收敛。则原式绝对收敛。（2）-]解：收敛。，=0,由莱布尼茨审敛法得收敛。则原式收敛。-鈭发散，得原级数条件收敛。（3）解：n，=0,由莱布尼茨审敛法得收敛。==,（B）6、设数列{n}有界，证明收敛。证明：数列{n}有界，不妨设。则。得：鈮,有p级数易得收敛。由比较审敛法得收敛。7、若与都收敛，且(n=1,2,3⋯)，证明收敛.证明：，而鈮鈮得收敛，得证。8、如果正项级数也收敛。证明：2,又且.得证也收敛。9、设分别是级数的正部与负部。证明：（1）绝对收敛的充分必要条件是其正部与负部同时收敛。（2）条件收敛的充分必要条件是其正部与负部同时发散。证明：a)绝对收敛，则收敛，且也收敛。又-，-，由第七题易得正部与负部同时收敛。c)正部与负部同时收敛。则也收敛。=（2）a）条件收敛，即发散，且收敛。反证法：如果其正部与负部不同时发散。有下列情况：1)同时收敛，易知绝对收敛，这与给定条件矛盾。得其正部与负部不同时收敛。2)一个收敛一个发散。得正部与负部之和发散。即发散，这与给定条件条件收敛矛盾。综上得证条件收敛的必要条件是其正部与负部同时发散。充分性：题目有误。
