压轴题提分练(三)1．(2018·合肥模拟)已知椭圆E：x24＋y23＝1，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且CO→＝2OD→.(1)若点C的坐标为1，32，求直线AB的方程；(2)求证：△ABC面积为定值．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，∵CO→＝2OD→，∴D－12，－34，将A，B代入椭圆方程中，可得x214＋y213＝1x224＋y223＝1化简可得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y23＝0，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝－3x1＋x24y1＋y2＝－34×1kOD＝－12，∴直线lAB的方程为x＋2y＋2＝0.(2)证明：设C(m，n)，∴D－m2，－n2，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C(2，0)，A－1，－32，B－1，32或C(－2,0)，A1，－32，B1，32，此时S△ABC＝12×3×3＝92；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由(1)kAB＝－34·1kOC＝－3m4n，∴AB：y＋n2＝－3m4n(x＋m2)，即直线AB：y＝－3m4nx－3m2＋4n28n＝－3m4nx－32n，即3mx＋4ny＋6＝0，3mx＋4ny＋6＝03x2＋4y2＝12?3x2＋3mx＋3－4n2＝0，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝1－4n23，∵CO→＝2OD→，|AB|＝1＋9m216n2m2－41－4n23＝9m2＋16n216n24－43n2－4＋16n23＝129m2＋16n2，O到AB的距离d＝69m2＋16n2，S△ABC＝3S△OAB＝3×12×129m2＋16n2×69m2＋16n2＝92.∴S△ABC为定值．2．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝aex(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若?x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－32，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴aex0＝3x20－3x0＋3，∴a＝3x20－3x0＋3ex0.令h(x)＝3x2－3x＋3ex，则h′(x)＝－3x2－3x＋2ex，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,2)2h′(x)－0＋0h(x)3e9e2∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝3e，又h(2)＝9e2，h(0)＝3>9e2，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[3e，3)，∴a的取值范围为[3e，3)．
