第四章定积分§1定积分的概念1．1定积分的背景——面积和路程问题1．2定积分课时目标通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体体会定积分的基本思想．1．解决面积、路程和变力做功问题，都是通过分割自变量的区间得到______________和________________，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．2．定积分的意义：当f(x)≥0时ʃf(x)dx表示__________________________围成的曲边梯形的面积；当f(x)表示速度关于时间x的函数时，ʃf(x)dx表示__________________________所走过的路程．3．定积分的性质(1)ʃ1dx＝________；(2)ʃkf(x)dx＝____________；(3)ʃ[f(x)±g(x)]dx＝________________；(4)ʃf(x)dx＝________________.一、选择题1．定积分ʃf(x)dx的大小()A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．设f(x)＝，则ʃf(x)dx可化为()A．ʃx2dxB．ʃ2xdxC．ʃx2dx＋ʃ2xdxD．ʃ2xdx＋ʃx2dx3．定积分ʃxdx的值是()A．1B.C.D．04．定积分ʃx3dx的值为()A.B.C.D．05．函数f(x)＝x2在区间上()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小6．设a＝ʃdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>bB．a>b>cC．a＝b>cD．a>c>b二、填空题7．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．8．如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分ʃf(x)dx＝________.9．ʃdx＝____________.三、解答题10．利用定积分的几何意义求下列定积分．(1)ʃdx；(2)ʃcosxdx.11.已知函数f(x)为偶函数，且ʃf(x)dx＝8，求ʃf(x)dx.能力提升12．如图，阴影部分面积为()A．ʃ[F(x)－g(x)]dxB．ʃ[g(x)－F(x)]dx＋ʃ[F(x)－g(x)]dxC．ʃ[F(x)－g(x)]dx＋ʃ[g(x)－F(x)]dxD．ʃ[g(x)－F(x)]dx13．利用定积分的几何意义求ʃf(x)dx＋sinx·cosxdx，其中f(x)＝.1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、近似代替、求和、取极限．2．求一些较复杂的定积分可以结合函数的性质和定积分的性质．答案知识梳理1．过剩估计值不足估计值2．y＝f(x)与x＝a，x＝b和x轴运动物体从x＝a到x＝b时3．(1)b－a(2)kʃf(x)dx(3)ʃf(x)dx±ʃg(x)dx(4)ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx作业设计1．A2．D[ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx＝ʃ2xdx＋ʃx2dx.故选D.]3．B[即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．]4．D[画草图，f(x)＝x3的图像关于原点对称，在区间[－1,1]上，x轴上方f(x)所围面积与x轴下方f(x)所围面积相等，故由几何意义知ʃx3dx＝0.]5．D6.B7．1.02解析将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于×＝×＝1.02.8．A1＋A3－A2解析利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．9.＋解析由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图像如图．ʃdx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形＝××22－×2×2sin＝－，S矩形＝|AB|·|BC|＝2，∴ʃdx＝2＋－＝＋.10．解(1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图像是以原点为圆心，半径为1的圆的部分．∴ʃdx＝π·12＝π.(2)由函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像的对称性(如图)知，ʃcosxdx＝0.11．解原式＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx∵f(x)为偶函数，∴f(x)在y轴两侧的图像对称，面积相等．∴ʃf(x)dx＝8×2＝16.12．B[根据定积分的几何意义．]13．解ʃf(x)dx＋ʃ－sinxcosxdx＝ʃ(3x－1)dx＋ʃ(2x－1)dx＋ʃ－sinxcosxdx，∵y＝sinxcosx为奇函数，∴ʃ－sinxcosxdx＝0.利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ(3x－1)dx＝－×2＝－8.ʃ(2x－1)dx＝×1＝2.∴ʃf(x)dx＋ʃ－sinxcosxdx＝2－8＋0＝－6.
