题型三由数列的前n项和nS与通项na的关系求通项na(推荐时间：30分钟)1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：为等差数列；(2)求an的表达式．2．(·江苏)设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn＋k＋Sn－k＝2(Sn＋Sk)都成立．(1)设M＝{1}，a2＝2，求a5的值；(2)设M＝{3,4}，求数列{an}的通项公式．答案1．(1)证明∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.∵Sn≠0，∴－＝2(n≥2)．由等差数列的定义，可知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解方法一由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；当n＝1，a1＝，不满足上式，故an＝方法二由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－＝－，当n＝1时，a1＝，不满足上式，故an＝2．解(1)由题设知，当n≥2时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)，即(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝2S1，从而an＋1－an＝2a1＝2.又a2＝2，故当n≥2时，an＝a2＋2(n－2)＝2n－2.所以a5的值为8.(2)由题设知，当k∈M＝{3,4}且n>k时，Sn＋k＋Sn－k＝2Sn＋2Sk且Sn＋1＋k＋Sn＋1－k＝2Sn＋1＋2Sk，两式相减得an＋1＋k＋an＋1－k＝2an＋1，即an＋1＋k－an＋1＝an＋1－an＋1－k，所以当n≥8时，an－6，an－3，an，an＋3，an＋6成等差数列，且an－6，an－2，an＋2，an＋6也成等差数列．从而当n≥8时，2an＝an＋3＋an－3＝an＋6＋an－6，(*)且an＋6＋an－6＝an＋2＋an－2，所以当n≥8时，2an＝an＋2＋an－2，即an＋2－an＝an－an－2.于是当n≥9时，an－3，an－1，an＋1，an＋3成等差数列，从而an＋3＋an－3＝an＋1＋an－1，故由(*)式知2an＝an＋1＋an－1，即an＋1－an＝an－an－1.当n≥9时，设d＝an－an－1.当2≤m≤8时，m＋6≥8，从而由(*)式知2am＋6＝am＋am＋12，故2am＋7＝am＋1＋am＋13.从而2(am＋7－am＋6)＝am＋1－am＋(am＋13－am＋12)，于是am＋1－am＝2d－d＝d.因此，an＋1－an＝d对任意n≥2都成立．又由Sn＋k＋Sn－k－2Sn＝2Sk(k∈{3,4})可知(Sn＋k－Sn)－(Sn－Sn－k)＝2Sk，故9d＝2S3且16d＝2S4.解得a4＝d.从而a2＝d，a1＝.因此，数列{an}为等差数列．由a1＝1知d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
