题型四立体几何中的基本关系与基本量问题(推荐时间：30分钟)1.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝AD，E是线段AB的中点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．2．(·天津)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．答案1．(1)证明因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB.因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD.而CD⊂平面ABCD，所以PE⊥CD.(2)解由(1)知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P—ABCD的高．由DA＝AB＝2，BC＝AD，可得BC＝1.因为△PAB是等边三角形，求得PE＝.所以VP—ABCD＝SABCD·PE＝×(1＋2)×2×＝.2．(1)证明连结BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)证明因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.(3)解取DO中点N，连结MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
