题型六解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2为正三角形，且以AF2为直径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求椭圆C的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．答案1．解(1)∵△AF1F2是正三角形，∴a＝2c.由已知F2(c,0)，A(0，b)，∴以AF2为直径的圆的圆心为，半径r＝a.又该圆与直线x－y＋2＝0相切，则有＝.由a＝2c，得b＝c，∴＝.得a＝2，∴c＝1，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.(2)由(1)知F2(1,0)，l：y＝k(x－1)，由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，∴PM＋PN＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．由菱形对角线垂直，则(PM＋PN)·MN＝0，∴(x1＋x2－2m)(x1－x2)＋(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，得k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0，得k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0，k2＋－2m＝0.由已知条件k≠0，且k∈R，∴m＝＝.∵>0，∴0b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．方法二(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且有解得b2＝12，b2＝－3(舍去)．从而a2＝16.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)同方法一．
