柯西不等式习题答案VIP免费

新课标数学选修4-5柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2+b^2+c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设、、为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若>>求证：（4）添项：例4：求证：【1】、设，则之最小值为________；此时b________。答案：18;解析：∴∴之最小值为18，此时【2】设(1，0，2)，(x，y，z)，若x2y2z216，则的最大值为。【解】 (1，0，2)，(x，y，z)∴．x2z由柯西不等式[120(2)2](x2y2z2)(x02z)2516(x2z)24x44．4，故．的最大值为4【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？Ans：(1)28：(2)(2,4,6)【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121【5】.设x，y，zR，且满足x2y2z25，则x2y3z之最大值为解(x2y3z)2(x2y2z2)(122232)5．1470∴x2y3z最大值为1【6】设x，y，zR，若x2y2z24，则x2y2z之最小值为时，(x，y，z)解(x2y2z)2(x2y2z2)[12(2)222]4．936∴x2y2z最小值为6，公式法求(x，y，z)此时∴，，【7】设，，试求的最大值M与最小值m。Ans：【8】、设，试求的最大值与最小值。答：根据柯西不等式即而有故的最大值为15，最小值为–15。【9】、设，试求之最小值。答案：考虑以下两组向量=(2,–1,–2)=(x,y,z)根据柯西不等式，就有即将代入其中，得而有故之最小值为4。【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：【11】设x，y，zR，2x2yz80，则(x1)2(y2)2(z3)2之最小值为解：2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)[2(x1)2(y2)(z3)]2[(x1)2(y2)2(z3)2]．(222212)(x1)2(y2)2(z3)29【12】设x,y,zR，若332zyx，则之最小值为________，又此时________。解：332zyx2x3(y1)z()，考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)解析：∴最小值∴∴【13】设a，b，c均为正数且abc9，则之最小值为解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)()(abc)2()．9(234)2819【14】、设a,b,c均为正数，且232cba，则之最小值为________，此时a________。解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)∴，最小值为18等号发生于故∴cba又232cba∴【15】.设空间向量的方向为，，，0，，，csc29csc225csc2的最小值为。解 sin2sin2sin22由柯西不等式∴(sin2sin2sin2)[](135)22(csc29csc225csc2)81∴csc29csc225csc2∴故最小值为【注】本题亦可求tan29tan225tan2与cot29cot225cot2之最小值，请自行练习。【16】.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为，，（，，均非象限角），求的最小值。解:由柯西不等式 sin2sin2sin22∴2∴的最小值18【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x,y,zR，若，则zyx23之范围为何？又zyx23发生最小值时，x？答案：2222222)2233(])2()1(3][)2()1[(zyxzyx1425231425142523142)523()14(42zyxzyxzyx3若又∴1425)2(2)2()13(3ttt∴∴【19】设ABC之三边长x，y，z满足x2y+z=0及3x+y2z=0，则ABC之最大角是多少度？【解】x：y：z=：：=3：5：7设三边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cos==，∴=120【20】.设x，y，zR且，求xyz之最大值，最小值。Ans最大值7；最小值3【解】 由柯西不等式知[42()222]251(xyz2)25|x...