一道课本思考题的引出的问题及其解法VIP免费

一道初中数学课本思考题的引出的再思考腰陂中学孟宪南《湘教版八年级数学下册》P12动脑筋题：如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯，当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到处，那么梯子顶端是否移动了0.5m？本题实际上是让学生利用已知条件运用勾股定理去解决一个求直角三角形中边长的问题：抽象出如图1：已知在中，计算出；再在中，计算出，于是梯子顶端移动的距离为.在这个基础上引导学生做进一步探究思考：当其他条件不变，我们把问题中的移动的方向改变，即得如下情形一：图（1）【思考问题一】如下图2，梯子AC顶端A沿墙体下移0.5m至,则梯子底端C外移多少？由于学生有上题的解题经验，这个问题容易解答，同上法求出,于是所求为.这个问题的“考察点”仍然是梯子的端点处的位置移动，实际上是图（2）直线运动。可见，问题没有发生根本性的变化，这时把梯子中“考察点”改为梯子“中点”，于是得到如下情形二：【思考问题二】如图3，设一根木棒AC=，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棒与地面的夹角,若木棒A端沿直线下滑至,且，此时梯脚C沿向右滑行至，于是木棒的中点P也随之运动至,问：（1）从点P至是怎样运动的？（2）点P至的运动路线有多长？-1-ABCCA�墙面�地面�梯子ABCCA�墙面�地面�梯子（图3）解析：（1）点P到的运动形式发生了根本性本性变化。依据直角三角形的性质知，OP=（定值）,即点P不管运动至何处，始终与定点的距离等于定长，故P点是在以点为圆心，以为半径的圆上运动，故而点P至的运动路线是该圆上的一段弧。（2）【解法一】依（1）知，求点P至的运动路线长即求弧,为此需要求出圆心角，因为，所以，又AC=，所以OC=，∴,而，∴，在中，,由勾股定理得,∴,∴,而在中，点为斜边的中点，所以，所以,同理，∴，∴弧的长=。【解法二】取点为原点，、为坐标轴建立直角坐标系，如图4，由已知得点P是在以点为圆心，以OP=的圆上运动，弧所对的圆心角为，由已知得，所以点-2-PPyxOAACC，从而（图4）可得直线的斜率为，故其的倾斜角为；又，而在中，由勾股定理得,于是的到，从而，可得直线的斜率为，故其的倾斜角为，所以，∴弧的长=【解法三】由解法二易知圆的方程为，与都是圆的半径，长度都是，且和，则在中由余弦定理得，，而是锐角，=，所以∴弧的长=下面将问题深化，再给出几个思考问题，促使学生积极探索求解，培养学生的思维能力与分析解决问题的能力和求之欲望。-3-【思考问题三】若点P是由点作的垂足，点是由点作的垂足，上题中其他条件不变，又如何求点P至的运动路线长？【思考问题四】若点P满足，点满足，上题中其他条件不变，又如何求点P至的运动路线长？【思考问题五】若点P满足，点满足，上题中其他条件不变，又如何求点P至的运动路线长？探究式学习，不仅要让学生学会解答别人提出的问题，而且更重要的是要让学生学会提出问题，形成一种能提问、逐步会提问的意识，同时还要鼓励、培养学生对自己的提问勇于探索求解的方法和途径。-4-