D6_2几何应用VIP免费

目录上页下页返回结束四、旋转体的侧面积(补充)三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章目录上页下页返回结束ybxa)(2xfy)(1xfyO一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为A,右下图所示图形面积为xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfyxxdxxxxd目录上页下页返回结束例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点)1,1(,)0,0(xxxAd)(d23110AxyOxy22xyxxxd)1,1(1目录上页下页返回结束Oxy224xyxy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有42Ayyyd目录上页下页返回结束ab例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程π)20(sincosttbytax应用定积分换元法得2π02dsin4ttbaba4212πbaπ当a=b时得圆面积公式xxxdxyO目录上页下页返回结束O一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积目录上页下页返回结束xyaπ2O例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad2sin4π2042)2(tu令uuadsin8π042uuadsin162π0422π3aπ20Attad)cos1(π2022目录上页下页返回结束2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxO目录上页下页返回结束对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:dd)(212aπ20A22a3310π223π34a到2所围图形面积.aπ2xO目录上页下页返回结束心形线xa2Ottadcos82π042例6.计算心形线所围图形的面积.解:dd)cos1(2122aπ02ad2cos44(利用对称性)2t令28a43212π2π23a心形线目录上页下页返回结束2coscos21)2cos1(21aa2xyO例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积d)cos1(2122a22π21aA22π21aad)2cos21cos223(2π43π2122aa目录上页下页返回结束a2sin2a例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,d2cos212a4π02a)2(d2cos则所求面积为2a思考:用定积分表示该双纽线与圆sin2ar所围公共部分的面积.2Adsin2026πad2cos214π6π2a4π答案:4πyxO目录上页下页返回结束二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnM当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10lims则称OAByx目录上页下页返回结束sdabyxO(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs目录上页下页返回结束(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)目录上页下页返回结束)ch(cxccxccsh1例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线.求这一段弧长.解:xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxcsh20bcbcsh22eechxxx)(chx2eeshxxx)(shxxshxchcxbbOy下垂悬链线方程为目录上页下页返回结束例10.求连续曲线段解:,0cosx此题2π2πxxysd122π2π的弧长.xxd)cos(12202πxxd2cos222π00...