圆幂定理(垂直弦定理)偏难VIP专享VIP免费

第二十二相交弦定理、切割线定理、剧线定理统称为n霜定理.n黑定理实质上是反映两条相交直無与圆的位萱关系的性质定理，其本质是与比例奘段有关•d相交弦宦理、切割线定理、割绫定理肓着密切的嚴系，主要悴■现在；存1.用运动的观点看，切割绒定理、割线走理是相交弦定理另一种情形，朋移动匾］内两条相交弦便亘交鱼在园外的情况；42.夙宦理册证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式•卍熟悉胡下基本图形、基本结论：*例题求解】【例1】如图，PT切。0于点T,PA交。0于A、B两点，且与直径CT交于点D,CD=2,AD=3,BD=6,则PB=(市中考题)注：比例线段是几之中一个重要问题,比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程,大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切，若AB=4,BE=5,则DE的长为()1516A.3B.4C.D.丄45(全国初中数学联赛题)思路点拨连AC,CE，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件.页脚注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，AABC接于OO,AB是乙O的直径，PA是过A点的直线，乙PAC二乙B.⑴求证：PA是OO的切线；(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交PA于F,AC=8，CE:ED=6:5,，AE:BE=2:3，求AB的长和ZECB的正切值.(北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程.【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E,EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证:EG=DE(省竞赛题)思路点拨由切割线定理得EG2二EF・EP，要证明EG=DE,只需证明DE?二EF・EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的多问题,若图形中有适用圆幂定理的条件,则能化解问题的难度,而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题中．【例5】如图，以正形ABCD的AB边为直径，在正形部作半圆，圆心为O,DF切半圆于点E,交AB的延长线于点F,BF=4.求:(1)cos乙F的值;⑵BE的长.(市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE,AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化法•对于⑴，先求出EF,FO值；对于(2)，从ABEF-^EAF,Rt^AEB入手.注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形,善于分析图形是解与圆相关综合题的关键,分析图形可从以下面入手：(1)多视点观察图形•如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理.(2)多元素分析图形•图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形•⑶将以上分析组合，寻找联系.学力训练1•如图，PT是。0的切线，T为切点，PB是。0的割线，交。0于A、B两点，交弦CD于点M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,贝0PT的长为•(市中考题)2•如图，PAB、PCD为。0的两条割线，若PA=5,AB=7,CD=11,则AC:BD=•3•如图，AB是OO的直径，C是AB延长线上的一点，CD是。0的切线，D为切点，过点B作。0的切页脚4•如图，在厶ABC中，乙C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（）A．6．4B．3．2C．3．6D．8（市中考题）（^4K）规!5靳f萧庁氈）5•如图，。0的弦AB平分半径OC,交OC于P点，已知PA、PB的长分别为程x2-12x+24=0的两根,则此圆的直径为（）A•8X2B•&2C•4込D•2丫2「（市中考题）678•如图，已知PA切OO于点A,割线PBC交。0于点B、C,PD丄AB于点D,PD、AO的延长线相交于6•如图，。0的直径Ab垂直于弦CD,垂足为H,点P是AC上—点（点P不与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上\PD与AB交于点F,给出下列四个结论：①CW二AH・BH:②AD二AC:③AD2二DF...