曲边梯形曲边梯形面积与定积分面积与定积分VIP免费

1.4.1曲边梯形面积与定积分1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=by=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近2．曲边梯形的面积求曲边梯形的面积即求下的面积)(xfy0)(xf——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？——以直代曲Oabxy)(xfyOabxy)(xfy例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。n1n2nknn'211122222233111()()111211101(12(1))1(1)(21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxOy解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnn小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割（2）近似代替把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。（4）取极限oxy(3)求和3.求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)以直代曲:任取i[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(i),宽为x的小矩形面积f(i)x近似地去代替.(4)逼近:所所所所梯形的面积S为(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxii所x10,()()niixfxSn1()niiSfx(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb11()()nnniiiibaSfxxfxn小矩形面积和如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即f(x)dxf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.一般地，如果f(x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间等分成n个小区间，在每个小区间上取一点作和式当时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。我们记作bxxxxxxannii1110iixx,1),,3,2,1(nii)()(11ininiifnabxfnbadxxf)(二、定积分的定义baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，f(x)——叫做被积函数,x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。()baSfxdx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限()baSfxdxSbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为();baSvtdt(3)设物体在变力FF(r)的方向上有位移r，则F在位移区间[a,b]内所做的功W为().baWFrdr112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213Sbaf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.三....