1.3二项式定理1.3.1二项式定理问题提出t57301p21.(a+b)2和(a+b)3展开后分别等于什么?(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.2.对于a+b,(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4,(a+b)5等代数式,数学上统称为二项式,其一般形式为(a+b)n(n∈N*).由于在许多代数问题中需要将它展开,因此,研究(a+b)n展开后的表达式的一般结构,就是一个具有重要意义的课题.探究(一):二项式定理思考1:将(a+b)2=(a+b)(a+b)按多项式乘法法则展开,每个括号内各取一个数相乘得到展开式中的一项,根据分步计数原理,在合并同类项之前共有多少项?其中不取b,取一个b和一个a,取二个b的项数用组合数分别怎样表示?由此可得(a+b)2的展开式是什么?202122222()abCaCabCb+=++思考2:类似地,将(a+b)3=(a+b)·(a+b)(a+b)按多项式乘法法则展开,在合并同类项之前共有多少项?其中不取b,取一个b和二个a,取二个b和一个a,取三个b的项数用组合数分别怎样表示?由此可得(a+b)3的展开式是什么?3031222333333()abCaCabCabCb+=+++思考3:在(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的展开式中,有哪几种形式的项?合并同类项之后各项的系数分别是什么组合数?由此可得(a+b)4的展开式是什么?40413222334444444()abCaCabCabCabCb+=++++思考4:根据归纳推理,你能猜测出(a+b)n(n∈N*)的展开式是什么吗?01122211()nnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCb----+=+++++L思考5:如何证明这个猜想?思考6:公式叫做二项式定理,等式右边叫做二项展开式,其中各项的系数(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,那么二项展开式在结构上有哪些基本特征?011()nnnknkknnnnnnabCaCabCabCb--+=+++++LLknC共有n+1项;字母a的最高次数为n且按降幂排列;字母b的最高次数为n且按升幂排列;各项中a与b的指数幂之和都是n;各项的二项式系数依次为,且与a,b无关.012,,,,nnnnnCCCCL思考7:根据二项式定理,(1+x)n(n∈N*)等于什么?0122(1)nkknnnnnnnxCCxCxCxCx+=++++++LL思考8:(a-b)n(n∈N*)的展开式是什么?011222()(1)nnnnnnnnnnnabCaCabCabCb---=-+-+-L探究(二):二项展开式的通项思考1:在二项展开式中,用Tk表示从左到右第k项,那么Tk和Tk+1分别等于什么?111knkkknTCab--+-=1knkkknTCab-+=思考2:在(a+b)n的二项展开式中,叫做二项展开式的通项,那么(a-b)n的二项展开式的通项是什么?1knkkknTCab-+=1(1)kknkkknTCab-+=-思考3:(2x+3y)20的二项展开式的通项是什么?20120(2)(3)kkkkTCxy-+=思考4:(1+2x)7的展开式中第4项的二项式系数和系数分别是什么?二项式系数:,系数:.3735C=378280C=理论迁移例1求的展开式.61(2)xx-32236012164192240160xxxxxx-+-+-+例2求的展开式中x3的系数.91()xx--84例3已知的展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为14︰3,求展开式中所有的有理项.331()2nxx-245.4x63,8-245,64x小结作业1.二项式定理是以公式的形式给出的一个恒等式,其中n是正整数,a,b可以任意取值,也可以是代数式.2.(a+b)n的展开式统一规定按a的降幂排列,各项的系数与a,b的取值有关,各项的二项式系数与a,b的取值无关.3.二项展开式的通项是研究二项展开式问题的重要工具,但需注意通项是表示二项展开式中的第k+1项.对于求展开式中某些特定的项,一般要分析通项中字母的幂指数来解决.1knkkknTCab-+=作业:P37习题1.3A组:2,3,4,5.1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质问题提出1.二项式定理是什么?二项展开式有哪些基本特征?01122211()nnnnnnnnnnnnnabCaCabCabCabCb----+=+++++L共有n+1项;字母a的最高次数为n且按降幂排列;字母b的最高次数为n且按升幂排列;各项中a与b的指数幂之和都是n;各项的二项式系数依次为且与a,b无关.012,,,,nnnnnCCCCL2.二项展开式的通项是什么?1knkkknTCab-+=3.组合数有哪两个基本性质?mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+4.二项式系数是二项展开式中的基本数据,它有许多变化规律,探究、了解二项式系数的基本性质,对提升思维素养,进一步理解二项式定理和运用二项式定理解决某些实际问题,都有重要的作用.探究(一):杨辉三角思考1:(a+b)1,...