浅谈数列极限的证明与计算方法分析研究 应用数学专业VIP免费

浅谈数列极限的证明与计算方法【摘要】本文将对数学分析中数列极限的证明与计算的常用方法作归纳和总结。主要方法有：定义法、两边夹定理、单调有界数列审敛法、定积分法、中值定理法、Stolz公式法、级数展开法、定积分中值定理法。数列极限的证明与计算可以采用不同的方法，每种方法都有一定的适应性，并有一定的规律可循，本文通过研究数列极限的证明与计算的方法并结合具体的例子进行分析，从而达到灵活运用这些方法的目的。【关键词】数列极限；证明；计算；中值定理；泰勒展开式；两边夹定理1.引言数列是数学分析的重要内容，它在数学的许多领域中扮演着重要的角色。数列极限的证明与计算就是要证明与计算所给的数列在题目给定的条件下的极限。由于数列的类型多种多样，有些数列极限的证明和计算比较复杂，仅靠一种方法是不够的，需要掌握各种数列极限的证明和计算的方法和技巧，根据所给的条件，巧妙的利用数列的各种特性，经过运算和证明，从而快速有效地解决问题。由于数列极限是数学分析中的一种重要工具，因此数列极限的证明非常重要。本文归纳出证明和计算数列极限的方法，主要方法有：定义法，两边夹定理，单调有界数列审敛法，定积分法，中值定理，Stolz公式法，级数展开法，定积分中值定理法，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。2.数列极限证明与计算的常用方法求函数极限是微积分的一大难点,又是一大重点,求函数极限包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。数列极限的证明与计算问题，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握所求数列的特性和一些基本方法。主要方法有定义法，两边夹定理，单调有界数列审敛法，定积分法，中值定理，Stolz公式法，级数展开法，定积分中值定理法，下面结合具体例题来探究数列极限的证明方法。2.1直接用定义证明极限数列定义:设有数列，为常数，若对任意,总存在正整数,对任意的正整数有，则称数列的极限是，用逻辑符号可以表示为:，有。当题目已给出一个数列的极限时，我们经常采用定义法证明数列极限，在证明过程中经常结合放大法或用已知的不等式，以及结合收敛数列的性质来证明未知数列的的极限。例2.1.1[1]证明若则.分析：题目中给出了数列的极限，因而我们可以采用定义法证明。证明已知，即，有，由不等式，从而有：，所以，有.即：.2.2两边夹法两边夹定理也称迫敛性法则，设有三个数列，若，有，且，则。当极限不容易直接求出或者证明时，我们可以将所求的极限作适当的放大和缩小，使所得两个新极限为已知的或易于求出，且两极限值相等，则原极限存在。例2.2.1[2]求.分析：由题目可知，要直接求出不容易，而且定义法求极限在这也不可行，这题可采用两边夹求极限，将所求极限式适当的放大和缩小使之转化为已知的极限或易于求出其极限的式子，进而求出极限。解：设则有又因为所以，又因为，所以，已知，所以，根据两边夹定理有，所以.2.3单调有界数列审敛法单调有界数列存在极限。首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。我们通常根据所求数列的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法证明数列单调性和有界性，证明其存在极限后，设数列的极限为，记，然后代入已知的数列表达式中，最后通过数列方程求解极限，求极限时注意根的取舍。运用这种方法求解数列极限只适合用于判别单调有界数列的收敛性，所以具有局限性。例2.3.1[3]若，则.分析:题目给出了数列的通项公式，所以我们可以采用单调有界数列审敛法来证明它存在极限。证明:显然有，设，有，即是单调增加的.又因为，设，，即是有界的。因此存在，设，由得.两边取极限，得到从而，即,所以或.因为，有，即，所以应舍去。于是有，即.例2.3.2[4]证明，，…，，收敛，并求出极限。分析：题目没有直接给出数列的通项公式，但...