3.1.2共面向量定理一、基础过关1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(“”“填共面不共”面)2．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．①OM＝OA－OB－OC②OM＝OA＋OB＋OC③MA＋MB＋MC＝0④OM＋OA＋OB＋OC＝03．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(“”“”“填共面不共面无法确定是”否共面)．4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，λ的值为________．5．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为________．6．下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；③若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、CD不共面；④若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、AC、AD不共面．7．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CC1、CD的中点，则下列结论错误的是________(填序号)．①MN＝C1D；②AC1＝AB＋AD＋AA1；③B1M、A1D与A1D1共面；④BN＝(BA＋BC)．二、能力提升9．已知非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有OP＝OA＋OB＋OC.求证：P、A、B、C四点共面．11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：EF与BC、AD的关系．12．如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．三、探究与拓展13．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C，OD，OC1是共面向量．答案1．共面2．③3．共面4．35．，6．④7．②③④8．④9．证明令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴易知是其中一组解，则－5AB＋AC＋AD＝0，∴A、B、C、D共面．10．证明∵OP＝OA＋OB＋OC，∴OP＝OA＋OB＋OC＝OA＋(OB－OA)＋(OC－OA)＝OA＋AB＋AC，∴OP－OA＝AB＋AC，∴AP＝AB＋AC，∴向量AP、AB、AC共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．11．解如图所示．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：EF＝EA＋AD＋DF①EF＝EB＋BC＋CF②又E、F分别是AB、CD的中点．故有EA＝－EB，DF＝－CF③将③代入①得EF＝－EB＋AD－CF④②＋④得：2EF＝AD＋BC所以EF＝AD＋BC，即EF与BC、AD共面．12．(1)证明∵AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1＝＋＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.∴A、E、C1、F四点共面．(2)解∵EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE)＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，且EF＝xAB＋yAD＋zAA1.则x＋y＋z＝－1＋1＋＝.13．证明设C1B1＝a，C1D1＝b，C1C＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴B1C＝c－a，又O是B1D1的中点，∴C1O＝(a＋b)，∴OC1＝－(a＋b)，OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a)．∵D1D綊C1C，∴D1D＝c，∴OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.若存在实数x、y，使B1C＝xOD＋yOC1(x，y∈R)成立，则c－a＝x＋y＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.∵a、b、c不共线，∴得∴B1C＝OD＋OC1，∴B1C、OD、OC1是共面向量．
