5.4平面向量的应用一、选择题1.如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是()．A.B.2C.D.3答案A2．△ABC的三个内角成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是()．A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又A，B，C成等差数列，故B＝.答案C3.半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(PA＋PB)·PC的值是()A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关解析(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2.答案A4．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2.即y2＝x＋6.答案D5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为()．A．3B.C．2D.解析(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.答案B【点评】本题采用特殊点法，因为过点G的直线有无数条，其中包含平行于底边BC的直线，所以\f(xy,x＋y)的值不随M、N的位置变化而变化.6．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次是△ABC的()．A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析因为|OA|＝|OB|＝|OC|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为三角形ABC的外心；由NA＋NB＋NC＝0，得NA＋NB＝－NC＝CN，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为三角形ABC的重心；由PA·PB＝PB·PC＝PC·PA得，PA·PB－PB·PC＝PB·CA＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为三角形ABC的垂心．答案C7.已知平面上三点A、B、C满足||＝6，||＝8，||＝10，则·＋·＋·的值等于()A．100B．96C．－100D．－96解析： ||＝6，||＝8，||＝10，62＋82＝102.∴△ABC为Rt△.即·＝0.·＋·＋·＝(＋)＝·＝－||2＝－100.答案：C二、填空题8.如图,在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且=.答案189.△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．解析 AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1， BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.答案310．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析 |a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4＞0，∴|a＋b|＞|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝.答案11．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(＋)·的值为________．解析：||2＝||2＋||2＝8，||＝||，＋＝2，(＋)·＝2·＝||2＝4.答案：412．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足CM＝CB＋CA，则MA·MB＝________.解析(构造法) 等边三角形的边长为2，∴如图建立直角坐标系，∴CB＝(，－3)，CA＝(－，－3)，∴CM＝CB＋CA＝.∴OM＝OC＋CM＝(0,3)＋＝.∴MA·MB＝·＝－2.答案－2【点评】本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算．三、解答题13．已知A(2,0)，B(0,2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点(1)·＝－，求sin2θ的值．(2)若|＋|＝，且θ∈(－π，0)，求与的夹角．解析：(1)＝(cosθ，sinθ)－(2,0)＝(cosθ－2，sinθ)＝(cosθ，sinθ)－(0,2)＝(cosθ，sinθ－2)．·＝cosθ(cosθ－2)＋sinθ(sinθ－2)＝cos2θ－2cosθ＋sin2θ－2sinθ＝1－2(sinθ＋cosθ)＝－.∴sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－1＝－.(2) ＝(2,0)，＝(cosθ，sinθ)，∴＋＝(2＋cosθ，sinθ)，∴|＋|＝＝.即4＋4cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝7.∴4cosθ＝2，即cosθ＝. －π<θ<0，∴θ＝－.又 ＝(0,2)，＝...
