九年级数学28.1圆的认识华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：§28.1圆的认识二.学习目标：理解圆及弦、弧、圆心角、圆周角的概念；了解弧、弦、圆心角的关系，以及圆的对称性及垂径定理；探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径与圆周角的特征。三.重点、难点：1.重点：圆的对称性、圆周角的一些性质。2.难点：垂直于弦的直径的性质定理。四.知识梳理：1.圆的基本元素⑴圆的定义在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，记作“⊙O”，读作“圆O”，其中O叫做圆心，OA叫做半径。说明：①以上关于圆的定义是从圆的形成角度而给出的。这与在七年级学习角的定义一样，角也可以从角的形成上来定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角还可以定义为：有公共端点的两条射线组成的图形。事物之间都是有联系的，圆也可以这样定义：到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。②圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。⑵与圆有关的概念①弦与直径。连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。（如图，线段AB是弦，AC是直径）。由此可知：直径是弦，而弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。②弧与半圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。直径所对的弧叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。如图，叫做劣弧，叫做优弧。而叫做半圆。想一想，图中还有哪些弧?由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB与及组成两个不同的弓形。③同圆与同心圆。同圆是指同一个圆；同心圆是指圆心相同，半径不等的圆。下面图⑴中的两个圆就是以O为圆心的同心圆。⑴⑵④等圆与等弧。能够重合的两个圆叫做等圆。或者说半径相等的两个圆是等圆。上图⑵中的⊙O1、⊙O2就是两个等圆。等弧是指能够完全重合的弧。因为两条弧只有在同圆或等圆中才可能互相重合，所以等弧必须是同圆或等圆中的弧。特别要注意的是，长度相等的弧不一定是等弧，度数相等的弧也不一定是等弧。⑤圆心角。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。2.圆的对称性⑴圆心角、弧、弦之间的关系定理圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等，所对的劣弧（或优弧）相等。结合图形，用字母（几何符号语言）表示，如图，在⊙O中，①②③⑵垂径定理如图所示，若在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，与，利用圆的对称性，能得出以下结论：AP＝PB，；。这就是垂径定理。用文字语言可表述为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。结合图形，用字母（几何符号语言）表示为如图所示，在⊙O中，说明：⑴圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆又是旋转对称图形，即绕着圆心旋转任意的角度都能与它本身重合，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，可概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此性质的运用，须注意“在一个圆（同圆或等圆）中”这一前提条件。⑵圆还是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。于是就有了垂径定理。还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论。简称为“知二推三”。但应注意：②③为条件时，即“经过圆心平分弦”，必须是非直径的弦，因为圆的任何两条直径都互相平分。⑶由圆的对称性得到的这两个性质是证明线段相等、角相等以及弧相等的重要依据，常常与直角三角形、等腰三角形等知识结合起来使用。这两条性质是本节内容的重点。3.圆周角⑴圆周角的概念。顶点在圆上，并且两边与圆相交的角是圆周角。判别圆周角时必须满足两个条件，一是顶点在圆上，另一个条件是两边与圆相交，两者缺一不可。如下图所示，只有图②的角是圆周角。其余...
