九年级数学二次根式的概念、二次根式的乘除法【本讲主要内容】二次根式的概念、二次根式的乘除法1.二次根式的概念2.二次根式的性质3.二次根式的乘法4.二次根式的除法【知识掌握】【知识点精析】一.二次根式的概念：1.定义：式子叫做二次根式．注意：（1）根式定义中的是定义的一个重要组成部分，不可省略；因为负数没有平方根，所以当时，没有意义．如不是二次根式，是二次根式，当时，是二次根式．（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式．2.最简二次根式（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．（2）化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或质因式）的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．二.二次根式的性质：1.非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．三.二次根式的乘法积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．注意：（1）是公式成立的必要重要条件．如（2）公式中的可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．四.二次根式的除法1.商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．2.分母有理化（1）把分母中的根号化去，叫做分母有理化．（2）分母有理化的依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．（3）有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式．常用的互为有理化因式有如下几种类型：①；②；③；④．（4）分母有理化时分母要先化简．【解题方法指导】例1.x为何值时下列式子有意义？（1）（2）（3）分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数．解：（1）根据二次根式定义，得（2）根据二次根式定义，得（3）根据二次根式定义，得或或（空集）例2.计算：（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）点评：此例体现了公式的应用．对于（3）题，其运算是先开平方、再乘二次方，所以题目本身已隐含了．例3.计算：（1）；（2）（3）；（4）；（1）解法一：原式解法二：原式（2）解：原式点评：运算时，（1）被开方数的积不要计算成一个结果，应是化简成幂的积的形式，以便于开方、化简；（2）被开方数的负因子要计算成正因子，才能用公式．（3）（4）．例4.化简．（1）；（2）；（3）；（4）解法一：（1）原式（2）原式解法二：（1）原式（2）原式（3）原式注意：化去分母时，被开方数的分子、分母只要同乘2即可，若同乘8就太繁了．（4）原式点评：化去被开方数的分母时，不能忘掉分子中开得尽方的因数的化简．例5.把分母有理化．解法一：原式解法二：原式（中隐含条件，故）同样，例6.化简：分析：联想分式中逆用分式加、减法，得到分子为1而分母也很简单的式子．解：原式点评：如果要直接化为同分母或先有理化分母，都太繁琐，但是，注意到数学中的公式总是双向的，如果根据题目的结构特点，灵活地逆用公式，在解题时便能左右逢源，得心应手．建议只能从左到右地运用公式而不习惯逆用（即由右到左）或变用公式的同学，对这几个题目多加分...
