九年级数学下册 282 解直角三角形深度解析(教材知识详析拉分典例探究知识整合能力提升评估)(pdf) 新人教版试卷VIP免费

２８．２解直角三角形学习目标导航１．知道直角三角形中边、角之间的关系,会运用勾股定理、锐角三角函数解直角三角形．２．知道仰角、俯角、坡度和坡角的概念．３．会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单实际应用问题．教材知识详析要点１解直角三角形以及在直角三角形中的边角关系(１)解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,就是解直角三角形．关键提醒:解直角三角形时应注意:(１)选择适当的边角关系;(２)尽量使用原始数据;(３)一般地,边长取近似值时保留四位有效数字,角度精确到１′;(４)对这些式子的理解与记忆要结合图形．(２)解直角三角形中常见的边角关系在解直角三角形的过程中,一般要用到下面一些关系:图２８．２Ｇ１在Rt△ABC中,∠C＝９０°,AB＝c,AC＝b,BC＝a．(１)三边之间的关系:a２＋b２＝c２;(２)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝９０°;(３)边角之间的关系:sinA＝ac,cosA＝bc,tanA＝ab,sinB＝bc,cosB＝ac,tanB＝ba．(４)S△ABC＝１２ab＝１２chc(hc为斜边上的高)．要点２解直角三角形的类型与解法解直角三角形的常见的类型有两种:(１)已知两边(两直角边或一条直角边与斜边)(２)已知一边一角(角为两锐角之一)Rt△ABC类型已知条件解法两边两直角边(如a,b)由tanA＝ab求∠A,∠B＝９０°－∠A,c＝a２＋b２斜边,一直角边(如c,a)由sinA＝ac求∠A,∠B＝９０°－∠A,b＝c２－a２一边一角一直角边和一锐角边锐角,邻边(如∠A,b)∠B＝９０°－∠A,a＝b􀅰tanA,c＝bcosA锐角,对边(如∠A,a)∠B＝９０°－∠A,b＝a􀅰cotA,c＝asinA斜边,锐角(如c,∠A)∠B＝９０°－∠A,a＝c􀅰sinA,b＝c􀅰cosA归纳整理:(１)在遇到解直角三角形的问题时,最好是先画一个直角三角形的草图,按题意表明哪些是已知的元素,哪些是未知元素,然后再依据解法求解．(２)计算边时可用下面的口诀:有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,无斜求对乘正切,无斜求邻除正切,“有斜求对乘正弦”的含义是:在直角三角形中,对一锐角而言,若已知斜边的长,求锐角的对边,就要用斜边长乘以该锐角的正弦,其余的含义可类推．例１如图２８．２Ｇ２,在△ABC中,∠A＝３０°,tanB＝３２,AC＝２３,求AB的长．图２８．２Ｇ２精析:由于△ABC不是直角三角形,所以直接根据三角函数不能求出,因此需要构造直角三角形,由于问题中出现tanB的值,因此要充分利用,所以过点C作CD垂直与AB,然后根据解直角三角形求解．图２８．２Ｇ３解答:作CD⊥AB于点D,在Rt△ACD中, ∠A＝３０°,AC＝２３,∴CD＝１２AC＝３,AD＝AC􀅰cos３０°＝２３×３２＝３．在Rt△BCD中, tanB＝CDBD,∴BD＝CDtanB＝３３２＝２．∴AB＝AD＋DB＝３＋２＝５．图２８．２Ｇ４要点３有关仰角、俯角的应用问题及有关名词正确理解测量常识(如:水平线、铅垂线、视线、仰角、俯角),将其化为解直角三角形的问题．铅垂线:手拿着一端悬挂重物的细绳的另一端,使重物自然下垂,细绳所在直线称为铅垂线．在盖房子时为了使墙与地面垂直,经常使用此方法．水平线:与水平面平行的直线(或与水平面内的某一条直线平行的直线)叫做水平线．水平线可以利用水平仪来确定．仰角:如图２８．２Ｇ４,在进行测量时,从下往上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;俯角:如图２８．２Ｇ４,在进行测量时,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角．关键提醒:仰角的视线在水平线上;俯角的视线在水平线下．图２８．２Ｇ５例２如图２８．２Ｇ５是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图．已知壁画AB的底端距离地面的高度BC＝１m,在壁画的正前方点D处测得壁画顶端的仰角∠ADF＝６０°,底端的俯角∠BDF＝３０°,且点D距离地面的高度DE＝２m,求壁画AB的高度．精析:(１)由３０°所对的直角边去求相邻的直角边,再由６０°的邻边去求相对的直角边,最后利用线段的和计算出所求壁画AB的高度;(２)可以利用３０°的直角三角形的三边关系即最短边∶较长边∶斜边＝１∶３∶２,进行求解．解答:方法一: 四边形DECF是矩形,∴CF＝DE＝２,∠DFB＝∠DFA＝９０°． DE＝２,BC＝１,∴BF＝１．在Rt△DFB中,tan∠BDF＝FBDF,∴DF＝FBtan∠BDF＝１tan３０°＝３．在Rt△ADF中,tan∠ADF＝AFDF,∴AF＝DF􀅰tan∠ADF＝３×tan６０°＝３×３＝３,...