初三数学圆的概念及确定知识精讲一.本周教学内容：圆的概念及确定［教学目标］1.了解圆的定义，点与圆的位置关系；理解等圆、等弧的概念和与圆有关的概念。2.了解轨迹的意义，掌握五个基本轨迹。3.圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点称为圆心，定长称为半径。4.圆外部分、圆内部分5.点和圆的位置关系点和圆的位置关系有：点在圆内、圆上，圆外三种，设⊙O的半径为r，点P和圆心O的距离为d，则有：点在圆内；点在圆上；点在圆外。6.理解定理，不在一直线上的三点确定一个圆，并掌握不在同一条直线上三点作圆的方法。7.会用尺规作经过不在同一直线上三点的圆。8.了解三角形外心的概念。9.过三点的圆确定一个圆有两个基本条件：圆心（定点），确定圆的位置；半径（定长），确定圆的大小。只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定。此外，下列条件都可以确定圆心和半径，因而都能确定圆：（1）经过不在一直线上的三点的圆；（2）已知圆心和圆上一点的圆；（3）以已知线段为直径的圆。特别要注意的是，过任意三点不一定能作圆，如果三点在同一直线上，则不能作圆。10.反证法从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。二.重点、难点：圆的概念及三点确定一个圆的方法。【典型例题】例1.如图所示，已知矩形ABCD的边。（1）以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？（2）若以点A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？点悟：要判定B、C、D与⊙A的位置，只须比较AB、AC、AD的长度与半径4cm的大小。解：（1） AB＝3cm＜4cm∴点B在⊙A内 AD＝4cm∴点D在⊙A上∴点C在⊙A外（2） AB＝3cm，AD＝4cm，AC＝5cm也就是说，B点到圆心A的距离3cm是最短距离，C点到圆心A的距离5cm是最长距离。∴使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，⊙A的半径r的取值范围是3cm＜r＜5cm。点拨：要判定平面上一点与圆的位置关系，只须比较该点到圆心的距离与半径的大小。例2.画图说明满足下列条件的点的轨迹。（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹；（2）边，面积为的△ABC的顶点A的轨迹。点悟：（1）圆心是动点，且圆要经过点A，故圆心必须到定点A的距离等于2cm，属轨迹1。（2）因为△ABC的面积为，底BC＝1cm，故BC边上的高为1cm，动点A必须到直线BC的距离等于1，属轨迹4。解：（1）经过点A，且半径等于2cm的圆的圆心轨迹，是以A为圆心，2cm为半径的圆。如图所示（甲）：（2）边，面积为的△ABC的顶点A的轨迹，是平行于边BC，且到边BC的距离等于1cm的两条平行线。如图所示（乙）：点拨：根据给定的条件，探求并确定符合条件的轨迹图形，通常是转化为五个基本轨迹。例3.下图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点。甲虫沿路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲、乙同时到B点D.无法确定（2002年吉林）解：设大圆的半径为R，小圆的半径分别为，则故大圆的半周长与四个小圆的半周长相等。因此，甲、乙两虫同时到达B点。故选C。例4.⊙O半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1，问P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？点悟：这是一个很有趣的问题。打一个比方，若把O点看作太阳，则P点好比是地球，Q点好比是月亮。P点到O点距离是2，P点运动时，带着Q也运动，则PQ始终是1。解： PO＜2.5∴P点在⊙O内部Q点和O点的距离较复杂，当Q点在OP延长线上时，Q点和O点距离最大，最大距离是3；当Q点在OP上时，Q点和O点的距离最小，最小距离是1；当Q点处在点和点时，。如图所示：∴Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，⊙O内。例5.求证：菱形四条边中点在以对角线的交点为圆心的同一圆上。已知：如图所示，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：E、F、G、H四个点在以O为圆心的同一圆上。点拨：判定E、F、G、H四个点在同一圆上，根据圆的定义，它们应到定点距离都等于定长。因为E、F、G、H是菱形各边的中点，根据菱形的对角线互相垂直，以...
