唐山市2018—2019学年度高三年级摸底考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：ADBCDDACCBCBB卷：ADBBDDACABCB二．填空题：（13）2（14）（15）2（16）(1，)三．解答题：17．解：（1）由已知可得，2Sn＝3an－1，①所以2Sn－1＝3an－1－1（n≥2），②①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，化简为an＝3an－1（n≥2），即＝3（n≥2），…3分在①中，令n＝1可得，a1＝1，…4分所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有an＝3n－1．…6分（2）bn＝(n－1)·3n－1，Tn＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n－1)·3n－1，③则3Tn＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n．④③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)·3n，…8分＝－(n－1)·3n＝．…10分所以，Tn＝．…12分18．解：（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率P＝＝．…5分（2）X可取0，1，2，3．…6分P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；…10分X的分布列为X0123P∴随机变量X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．…12分19．解：（1）∵直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，D为AC的中点，∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥PD，又∵AD⊥BD，∴PD⊥BD．又因为BD∩CD＝D，∴PD⊥平面BCD．…5分（2）以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(，0，0)，B(0，，0)，C(－，0，0)，P(0，0，)，PA＝(，0，－)，PB＝(0，，－)，CB＝(，，0)设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，由PB·n＝0，CB·n＝0得取n＝(1，－1，－1)．…9分cosPA，n＝＝，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．…12分20．解：ABCPDxyz（1）由已知可得，y1＝x2，y2＝x2，所以y1－y2＝x2－x2＝(x1＋x2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，此时，直线l的斜率k＝＝2．…4分（2）因为OB⊥l，所以kOB＝－，又因为kOB＝＝＝x2，所以，x2＝－，…6分又由（1）可知，x1＋x2＝＝k，从而有，x1＝k－x2＝k＋，所以|AB|＝|x1－x2|＝|k＋|，|OB|＝＝＝＝，…9分因为|AB|＝3|OB|，所以|k＋|＝，化简得，|k3＋2k|＝3，解得，k＝±1，所以，|AB|＝|k＋|＝3．…12分21．解：（1）当a＝e时，f(x)＝lnx＋，所以f(x)＝－．…1分设切点为(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)与y＝m相切，得f(x0)＝0，解得x0＝1，所以切点为（1，1）．…3分所以m＝1．…4分（2）依题意得f(1)≥，所以1≥，从而a≥e．…5分因为f(x)＝，a≥e，所以当0＜x＜lna时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝lna时，f(x)取得最小值loga(lna)＋．…7分设g(x)＝elnx－x，x≥e，则g(x)＝－1＝≤0，所以g(x)在[e，＋∞)单调递减，从而g(x)≤g(e)＝0，所以elnx≤x．…10分又a≥e，所以elna≤a，从而≥，当且仅当a＝e时等号成立．因为lna≥1，所以loga(lna)≥0，即loga(lna)＋≥．综上，满足题设的a的取值范围为[e，＋∞)．…12分22．解：（1）由ρ2－2ρsin(θ＋)－4＝0得，ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0．所以x2＋y2－2x－2y－4＝0．曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6．…5分（2）将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0，t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0．||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2sin(α＋)|因为0≤α＜，所以≤α＋＜，从而有－2＜2sin(α＋)≤2．所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2]．…10分23．解：（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,所以|x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．…5分（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝由g(x)的单调性可知，x＝时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）．…10分
