第二十二章曲面积分习题课一疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答1）先把的方程代入，再利用为的表面积；例如其中为柱面被平面所截取的部分；解.2)利用公式（1）设有光滑曲面，为上的连续函数，则．注一投------将曲面向面投影得；二代------将代入到中；三变换------变成.（2）类似地，如果光滑曲面由方程，则，其中表示曲面在面上的投影．（3）如果光滑曲面由方程，则．其中表示曲面在面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为位于上部的曲面，则（2）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则（3）若曲面关于坐标面对称，为上的连续函数，为中的那部分曲面，则（4）若积分曲面关于具有轮换对称性,则有．2.第二型曲面积分的方法：答1）公式：（1）设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧为正侧，则有注一投-----曲面向面投影得；二代----将代入到中；三定向—看的法线方向与轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负．（2）类似地，当在光滑曲面上连续时，有这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当在光滑曲面上连续时，有这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧．2）若，则3）高斯公式注高斯公式的适用条件是：1）函数，，在上具有一阶连续的偏导数．2）封闭，若不封闭需要补面，让它封闭，假如补面后封闭，则有3）取外侧；如果取内侧，则取外侧，则有3.各种积分间的联系格林公式斯托克斯公式高斯公式二典型例题第一型曲线积分三重积分二重积分第一型曲面积分第一型曲线积分第二型曲线积分第二型曲面积分面积分1.计算第一型曲面积分，其中是上半球面，．解把向面投影得．注，因为关于轴对称，且奇．2.计算曲面积分，其中是球面．解：∵球面关于,,具有对称性，∴∴==．3．计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间部分的下侧．解补平面的上侧，则为封闭曲面，在其上应用高斯公式：．4．计算第二型曲面积分，其中曲面为椭球面的上半部分，其方向为下侧．解：为求(取下侧)，只须求(取上侧)，那么．为求，将与底面(其中是在坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为，即，其中方向取上侧，方向取下侧．设围成的区域为，由高斯公式：．又由于，那么，从而．5．计算，其中是上半球面的外侧．解：曲面不封闭，补上曲面，取下侧6.，其中是单位球面的外侧．解．7.求，其中是立方体的表面与平面的交线，取向从轴正向看去是逆时针方向．解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且也不便于表示为一个统一的参数式，因为闭曲线，且，，连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令为被所围的一块，取上侧，则的取向与的取侧相容，应用斯托克斯公式得．8.计算，其中，从轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解用斯托克斯公式取以为边界所围有限部分的下侧，它在面上的投影区域为，则．
