初三数学探索与实践（二）北师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：探索与实践（二）二.重点、难点：对于一些探索与实践的题目，题中提供某些信息，供解题者观察。类比、推理、反思，从而归纳，猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生的数感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神，但猜想是合情推理，不是严格的论证，有的猜想正确，有的猜想不正确，所以对猜想的结论必须证明或验证。【典型例题】例1.我们知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它们都能被8整除。试问：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除吗？如果能够，请写出你的推理过程；如果不能，请说明理由。分析：由已知三个等式可以猜想上述结论是正确的，但观察猜想并不能准确地反映这一特征，故而可设出两个连续奇数为2n＋1，2n－1，利用平方差公式因式分解可得出上述结论。解：任意两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。推理如下：设这两个连续奇数为2n＋1，2n－1，（其中n为任意整数）显然，当n为整数时，任意两个连续奇数的平方差都能被8整除。说明：要准确判别某个结论的正确与否，必须通过推理，找出其所蕴含的内在特征，才能对这个结论作出肯定或否定的判断，不能单从观察、猜想来予以说明。例2.已知：在△ABC与△A’B’C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’。试问：△ABC与△A’B’C’是否全等？如果全等，请给出证明；如果不全等，试举出反例来说明。分析：显然这样的两个三角形未必全等，可举一反例说明。解：仅由AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’不能证明△ABC≌△A’B’C’，事实上，它们可能全等，也可能不全等。如下图，由∠C＝∠C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’时，此时△ABC≌△A’B’C’。如下图，由∠C＝∠C’，BC＝B’C’，BA＝B’A’，但是△ABC与△A’B’C’不全等。说明：举反例也是证明命题的一种行之有效的方法。但是，有时举反例也并非一件容易的事，它们必须建立在对已知定义、定理、公理的基础上，挖掘不足，从而发现问题，得到反例。例3.如图，是某城市部分街道示意图，F是EC中点，EC⊥BC，AF∥BC，AB∥DE，BD∥AE。小军和小强两人同时从B站乘车到F站。小军乘1路车，路线是B→A→E→F；小强乘2路车，路线是B→D→C→F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？请说明理由。分析：在速度相同的情况下，“谁先到达”是由路程决定的，因此本题实质是比较BA＋AE＋EF与BD＋DC＋CF的大小。解：同时到达。 AE∥BD，AB∥DE∴四边形ABDE是平行四边形∴AB＝DE………………① EC⊥BC∴∠ECB＝90° AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECB＝90°即AF⊥EC又 F是EC的中点，∴DE＝DC 平行四边形ABDE中，DE＝AB∴DC＝AB…………②∴BA＋AE＋EF＝DC＋BD＋FC 两人乘车的路程相同，两车速度相同∴两人同时到达F站说明：此题将抽象的逻辑证明赋予现实背景，增强证明的趣味性，同时也可以让解题者体会到逻辑证明在实际中的意义和作用，体现“生活中的数学”和“数学中的生活”的密切联系。例4.已知：AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个什么条件？并证明四边形AEDF是菱形。分析：题中的现有条件不能够推证出菱形AEDF。由结论入手要得菱形AEDF，首先想到能否得到平行四边形，只有D为BC中点即可，根据“AD是角平分线”联想到“三线合一”，因此可试加“AB＝AC”，构造“等腰三角形三线合一”。解：添AB＝AC证明： AB＝AC，AD平分∠BAC∴D为BC中点 E为AB中点∴DE为△ABC中位线∴DE∥AC，同理：DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形 E、F分别为AB、AC中点又 AB＝AC，∴AE＝AF∴平行四边形AEDF是菱形说明：培养创新精神和实践能力是素质教育的重点。开放探究题是考查这种能力的一种新题型，近年来全国各地中考命题中受到极大的关注。开放题常见类型有：条件开放型、结论开放型、条件结论全开放型，本题属于条件开放型，要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索、多途寻因。例5.把一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF。问题：（1）找出图中全等的三角形，并证明。（2）重合部...
