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高考数学大二轮复习 第二部分 专题6 函数与导数 增分强化练（三十五）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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增分强化练(三十五)考点一利用导数证明不等式(2019·乌鲁木齐质检)已知函数f(x)＝lnx＋－x－2a＋1.(1)若a＝－2，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x，x2，求证：f(x1)＋f(x2)<0.解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝lnx－－x＋5，f′(x)＝＋－1＝＝＝，当00，当x>2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．(2)证明：f′(x)＝－－1＝(x＞0)，f(x)有两个极值点x1，x2得，∴0x1>0时，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)由f(x)＝bex＋x得，f′(x)＝bex＋1，由题意得f′(0)＝be0＋1＝a，即b＋1＝a，又f(0)＝b，∴－b＋1＝0，解得b＝1，a＝2.(2)由(1)知，f(x)＝ex＋x，f(x1)－f(x2)<(x1－x2)(mx1＋mx2＋1)即为f(x1)－mx－x1x1>0知，上式等价于函数φ(x)＝f(x)－mx2－x＝ex－mx2在(0，＋∞)为增函数，∴φ′(x)＝ex－2mx≥0，即2m≤，令h(x)＝，(x>0)，h′(x)＝，h′(x)<0时，00时，x>1；h′(x)＝0时，x＝1.∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min＝h(1)＝e，则2m≤e，即m≤，所以实数m的范围为.考点三利用导数研究函数的零点或方程的根(2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝lnx－x2＋ax，a∈R.(1)证明lnx≤x－1;(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数.解析：(1)证明：令g(x)＝lnx－x＋1，(x>0)，g(1)＝0.g′(x)＝－1＝，可得x∈(0,1)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减．∴可得x＝1时，函数g(x)取得极大值即最大值，∴g(x)≤g(1)＝0，即lnx≤x－1.(2)根据题意，f′(x)＝－2x＋a＝，x>0.令－2x＋ax0＋1＝0，解得x0＝，(负值舍去)，在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．∴f(x)max＝f(x0)．当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0，此时函数f(x)只有一个零点1.当a＞1时，x0＝>1，f(1)＝a－1＞0，f＝ln－＋<－1－＋＝－2－<0.f(2a)＝ln2a－2a2<2a－1－2a2＝－22－<0.∴函数f(x)在区间和区间(1,2a)上各有一个零点．综上可得：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点1.当a＞1时，函数f(x)有两个零点．
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