2圆的参数方程一、基础达标1.已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝()A.1B.2C.3D.4解析|OA|＝＝＝1，故选A.答案A2.已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a＞3C.a≥1D.a＜0解析∵曲线C的参数方程是(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)2＋y2＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.答案A3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为()A.(0≤θ＜2π)B.(0≤θ＜2π)C.(0≤θ＜π)D.(0≤θ＜2π)解析圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π).答案D4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为()A.y＝x－2B.y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3)D.y＝x＋2(0≤y≤1)解析将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].答案C5.若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.解析将点(－3，－3)的坐标代入参数方程(θ为参数)得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.答案＋2kπ，k∈Z6.已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直1线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________.解析由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsinθ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).答案(－1，1)，(1，1)7.已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围.解∵∴x2＋(y＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，解得1－≤a≤1＋.二、能力提升8.若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是()A.x－y－3＝0B.x＋2y＝0C.x＋y－1＝0D.2x－y－5＝0解析∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.∴直线l方程为x－y－3＝0.答案A9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________.解析将x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∵圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cosθ＝1×cosθ×cosθ＝cos2θ，y＝|OP|sinθ＝1×cosθ×sinθ＝sinθcosθ，∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ为参数).答案(θ为参数)10.曲线(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________.解析∵sint∈[－1，1]，∴y∈[0，2].∵方程表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2).令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，∵0≤y≤2，∴y＝.2答案(1，)11.设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹.解设点M(cosθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′).则①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2.∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2的一部分.12.已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.解由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cosθ，且y＝sinθ(θ为参数)，因此4x＋3y＝4(－1＋cosθ)＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tanφ＝确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞).三、探究与创新13.已知圆系方程为x2＋y2－2axcosφ－2aysinφ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.(1)解由已知圆的标准方程为：(x－acosφ)2＋(y－asinφ2)＝a2(a＞0).设圆心坐标为(x，y)，则(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.(2)证明由方程得公共弦的方程：2axcosφ＋2aysinφ＝a2，即xcosφ＋ysinφ－＝0，圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值.∴弦长l＝2＝a(定值).3
