选考部分第十二篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用1、4、7、8、12、13相似三角形的判定与性质2、6、7、9、10、11直角三角形中的射影定理3、5、11一、选择题1.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC,AE=2,AC=3,BC=4,则BF的长为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为DE∥BC,所以==,①因为DF∥AC,所以=,②由①②得=,解得CF=.故BF=4-=.2.如图所示,ABCD▱中,AE∶EB=2∶5,若△AEF的面积等于4cm2,则△CDF的面积等于(D)(A)10cm2(B)16cm2(C)25cm2(D)49cm2解析:ABCD▱中,△AEF∽△CDF,由AE∶EB=2∶5,得AE∶CD=2∶7,∴=（）2=（）2,∴S△CDF=（）2×S△AEF=×4=49(cm2).3.一个直角三角形的一条直角边为3,斜边上的高为,则这个三角形的外接圆半径是(B)(A)5(B)(C)(D)25解析:长为3的直角边在斜边上的射影为=,故由射影定理知斜边长为=5,因此这个直角三角形的外接圆半径为.4.(2014汉中模拟)如图,在梯形ABCD中,E为AD的中点,EF∥AB,EF=30cm,AC交EF于G,若FG-EG=10cm,则AB等于(B)(A)30cm(B)40cm(C)50cm(D)60cm解析:因为EF=30cm,即FG+EG=30cm,又FG-EG=10cm,所以FG=20cm.因为E为AD的中点,EF∥AB,所以F为BC的中点,所以G为AC的中点,所以AB=2GF=2×20=40(cm).二、填空题5.已知圆O的直径AB=4,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D,若CD=,则AC=.解析:因AB为圆O的直径,所以∠ACB=90°,设AD=x,因为CD⊥AB,由射影定理得CD2=AD·DB,即()2=x(4-x).整理得x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当AD=1时,得AC=2;当x=3时,得AC=2.答案:2或26.(2014永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF=.解析:设AE=x,因为∠BAC=120°,所以∠EAB=60°.又AE⊥EB,所以AB=2x,BE=x,所以==.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∠FEA=∠BEC=90°,所以△AEF∽△BEC,所以=,所以AF=4×=.答案:7.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F分别为AD,BC上的点,且EF=3,EF∥AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为.解析:延长AD、BC交于点H,由DC∥EF知=（）2=,∴=,由DC∥AB知=（）2=,∴=,∴=.答案:7∶58.如图,△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,则DF=.解析:∵AH∥BE,∴=.∵AB=4AF,∴=.∵HE=8,∴HF=2.∵AH∥BE,∴=.∵D是AC的中点,∴=1.∵HE=HD+DE=8,∴HD=4,∴DF=HD-HF=4-2=2.答案:29.如图所示,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为.解析:如图所示,设圆心为O,连接OA,OE,AE,因为A,E是半圆周上的两个三等分点,所以AE∥BC,AE=BC=2,所以△AFE∽△DFB,所以=.在△AOD中,∠AOD=60°,AO=2,AD⊥BC,故OD=AOcos∠AOD=1,AD=AOsin∠AOD=,所以BD=1.故AF=·DF=2(AD-AF).解得AF=.答案:三、解答题10.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD.∴∠ABF=∠CEB.∴△ABF∽△CEB.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴==,==.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8.∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.∴S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.11.(2014湛江模拟)已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为△ABD∽△CBA,所以=,即AB·AC=AD·BC.(2)∵AD2=BD·DC,∴AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,∴AD3=BC·BE·CF.12.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC,∴=,=.∵EF∥AD∥BC,∴=.∴=,∴OE=OF.(2)解:∵OE∥AD,∴=.∴由(1)知,=,∴+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1,∴+=2.又EF=2OE,∴+=2,∴+=.13.(2014吉林模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,P是BD上任意一点,过P点的直线分别交AB,DC于E,F,交DA,BC的延长线于G,H.(1)求证:PE·PG=PF·PH.(2)当过P点的直线绕点P旋转到F,H,C重合时,请判断PE,PC,PG的关系,并给出证明.(1)证明:因为AB∥CD,所以=,因为AD∥BC,所以=,所以=,所以PE·PG=PF·PH.(2)解:由题意可得到图形,关系式为PC2=PE·PG.证明如下:因为AB∥CD,所以=,因为AD∥BC,所以=,所以=,即PC2=PE·PG.
