第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A级基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是()A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.答案：D2．方程(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，且x＝et＋e－t≥2＝2，所以表示双曲线的右支．答案：B3．已知抛物线的参数方程为(t为参数，p>0)，点A，B在曲线上对应的参数分别为t1和t2，若t1＋t2＝0，则|AB|等于()A．2p(t1－t2)B．2p(t＋t)C．2p|t1－t2|D．2p(t1－t2)2解析：因为x1＝2pt，x2＝2pt，所以x1－x2＝2p(t－t)＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因为y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.答案：C4．点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.D．2解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.答案：B5．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同的两点，则m的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0，1)D．[0，1)解析：将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.答案：D1二、填空题6．双曲线的顶点坐标为________．解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝，故顶点坐标为(±，0)．答案：(±，0)7．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．解析：将参数方程化为y2－＝1，此时a＝1，b＝，设渐近线倾斜角为α，则tanα＝±＝±.所以α＝30°或150°.答案：30°或150°8．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．解析：化为普通方程为y＝x2，由于ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以化为极坐标方程为ρsinθ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sinθ＝0.答案：ρcos2θ－sinθ＝0三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，.10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，则kMN＝＝.又设MN的中点为P(x，y)，则所以kAP＝.由kMN＝kAP知t1·t2＝－，又则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．B级能力提升1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，2故F1(－5，0)，F2(5，0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝＝secθ，y＝＝tanθ.从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．答案：A2．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)3．求点P(0，1)到双曲线x2－y2＝4的最小距离．解：设双曲线x2－y2＝4上任一点坐标为M，则|PM|2＝＋(2tanφ－1)2＝4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tanφ＋1＝8tan2φ－4tanφ＋5＝8＋.则当tanφ＝时，|PM|＝.所以|PM|min＝，即点P到双曲线的最小距离为.3
