1.2.3直线和圆的极坐标方程1.2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1.2.5圆锥曲线统一的极坐标方程1.若极坐标方程为ρ=ρ(θ)满足ρ(θ)=ρ(π-θ),则ρ=ρ(θ)表示的图形()A.关于极轴对称B.关于极点对称C.关于直线θ=对称D.不确定答案:C2.极坐标方程ρ2cosθ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析:∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρ==0或ρcosθ=x=1.答案:C3.圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()A.ρ=2(sinθ-cosθ)B.ρ=2(cosθ-sinθ)C.ρ=2sinθD.ρ=2cosθ解析:如图所示,圆的半径为,∴圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=-2(x-y),化为极坐标方程,得ρ2=-2(ρcosθ-ρsinθ),即ρ=2(sinθ-cosθ).答案:A4.在极坐标系中,与圆ρ=4cosθ相切的一条直线方程为()A.ρsinθ=4B.ρcosθ=21C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析:圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x-2)2+y2=4,四个选项所对应的直线方程分别为y=4,x=2,x=4,x=-4,故选C.答案:C5.在极坐标系中,曲线ρ=4sin关于()A.直线θ=对称B.直线θ=对称C.点对称D.极点对称解析:由方程ρ=4sin,得ρ2=2ρsinθ-2ρcosθ,即x2+y2=2y-2x.配方,得(x+)2+(y-1)2=4.它表示圆心在(-,1),半径为2,且过原点的圆.所以在极坐标系中,它关于直线θ=成轴对称.答案:B6.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为()A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤2D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤解析:由x=ρcosθ,y=ρsinθ,y=1-x可得ρsinθ=1-ρcosθ,即ρ=,再结合线段y=1-x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形,可知θ∈.因此线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ=,0≤θ≤.故选A.答案:A7.在极坐标系中,点到直线ρsin=1的距离是.解析:ρsin=ρ=1,因为在极坐标系中ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d==1.答案:18.过极点O作圆C:ρ=8cosθ的弦ON,则ON的中点M的轨迹方程是.解析:(方法一)如图,圆C的圆心为C(4,0),半径为|OC|=4,连接CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON,故M在以OC为直径的圆上.∴点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.3(方法二)设M点的坐标是(ρ,θ),N(ρ1,θ1).∵N点在圆ρ=8cosθ上,∴ρ1=8cosθ1,①∵M是ON的中点,∴将它代入①式得2ρ=8cosθ,故点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.答案:ρ=4cosθ9.在极坐标系中,点(1,0)到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为.解析:∵直线ρ(cosθ+sinθ)=2,即为ρcosθ+ρsinθ=2,∴直角坐标方程为x+y-2=0.∴d=.答案:10.在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点到直线l的距离为.解析:将直线l的极坐标方程ρsinθ=3化为直角坐标方程得:y=3,点在直角坐标系中为(,1),故点到直线l的距离为2.答案:211.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即有=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.12.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.4(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.分析:(1)利用相关点法先求出直角坐标方程,再写出参数方程.(2)先联立方程求出P1,P2两点的坐标,进而求出P1P2的中点坐标,得到与l垂直的直线方程,再化为极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由=1,得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.56
