（浙江专版）高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 热点探究课5 平面解析几何中的高考热点问题教师用书-人教版高三全册数学试题VIP免费

热点探究课(五)平面解析几何中的高考热点问题[命题解读]圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点1圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2017·诸暨质检)如图1，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.图1(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.【导学号：51062314】[解](1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.2分设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝|F1F2|＝＝＝2.即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.5分(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，又|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|＝(2a－|PF1|)＋(2a－|QF1|)，可得|QF1|＝4a－2|PF1|.①又因为PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，所以|QF1|＝|PF1|.②由①②可得|PF1|＝(4－2)a，9分从而|PF2|＝2a－|PF1|＝(2－2)a.由PF1⊥PF2知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2，13分可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6，1因此e＝＝＝－.15分[规律方法]1.用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用．2．圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确a，b，c中任意两量的等量关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制．[对点训练1]已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．[解](1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．因为抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，所以b＝1.4分由离心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2，从而得a＝，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.6分(2)由解得所以点A(2,1).9分因为抛物线的准线方程为y＝－1，所以圆的半径r＝1－(－1)＝2，12分所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.15分热点2圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．角度1圆锥曲线中的定值问题已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.【导学号：51062315】[解](1)由题意得解得4分所以椭圆C的方程为＋y2＝1.6分(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝.直线PB的方程为y＝x＋1.10分令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝.所以|AN|·|BM|＝·＝＝2＝4.13分当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值.15分[规律方法]1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．角度2圆锥曲线中的定点问题设椭圆E:＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.【导学...