第2课时等差数列前n项和的性质及应用A级：基础巩固练一、选择题1．Sn是等差数列{an}的前n项和，且S9＝9S3，则{an}的通项公式可能是()A．an＝4n－2B．an＝4n－1C．an＝4n＋1D．an＝4n＋2答案A解析设等差数列{an}的公差为d，则由S9＝9S3得9a1＋36d＝9(3a1＋3d)，化简得d＝2a1，若an＝4n－2，则d＝4，a1＝2，适合题意，B，C，D均不适合，故选A.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于()A．36B．18C．72D．9答案A解析由S3，S6－S3，…，S18－S15成等差数列，可知：S18＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋…＋(S18－S15)＝＝36.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m等于()A．38B．20C．10D．9答案C解析因为am－1＋am＋1－a＝0，所以am－1＋am＋1＝a.根据等差数列的性质得2am＝a，显然am≠0，所以am＝2.又因为S2m－1＝38，所以S2m－1＝＝(2m－1)am.将am＝2代入可得(2m－1)×2＝38，解得m＝10.故选C.4．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列答案C解析设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．二、填空题5．已知四个数成等差数列，S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d＝________.答案8解析设首项为a1，公差为d，则由a2∶a3＝1∶3得＝，∴d＝－2a1，又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，d＝8.6．在等差数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.答案－1解析 an＝4n－，∴a1＝.设等差数列{an}的公差为d，则d＝an＋1－an＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋an＝n＋×4＝2n2－n.∴a＝2，b＝－，故ab＝－1.7．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n＝________.答案101解析(a1＋a2＋a3)＋(an＋an－1＋an－2)＝3(a1＋an)＝15＋78，∴a1＋an＝31.又Sn＝＝155，∴＝155⇒n＝10.三、解答题8．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．解(1)设{an}的首项，公差分别为a1，d.则解得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12.(2)Sn＝＝(3n2－21n)＝2－，∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值为－18.9．已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7，n∈N*.(1)设函数y＝f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.解(1)证明：因为f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，所以an＝3n－8，因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，所以数列{an}为等差数列．(2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝，当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)＝7＋＝.所以Sn＝10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足：(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，n∈N*.(1)求a1及通项公式an；(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)对于(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，①n＝1时，(a1＋2)2＝4a1＋5，a＝1，而an>0，则a1＝1.又(an＋1＋2)2＝4Sn＋1＋4(n＋1)＋1，②由②－①可得(an＋1＋2)2－(an＋2)2＝4an＋1＋4，a＝(an＋2)2，而an>0，∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2.∴{an}是等差数列，即an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2) bn＝(－1)n·(2n－1)，2∴Tn＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n(2n－1)，当n为偶数时，Tn＝＝n；当n为奇数时，Tn＝－(2n－1)＝－n.综上所述，Tn＝(－1)n·n.B级：能力提升练1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于()A．12B．16C．9D．16或9答案C解析a...
