课时达标检测（四十四）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题[一般难度题——全员必做]1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.QC＝QA＋QB＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴|QC|2＝|QA＋QB|2＝16－＋，由此可知，|QC|2的大小与k2的取值有关．由F2A＝λF2B可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴|QC|2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，|QC|min＝2.2．(2018·河南洛阳统考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，过焦点F的直线交C于A，B两点，D是抛物线的准线l与y轴的交点．(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N.证明：直线AN与抛物线相切．解：(1) AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1，故抛物线C的方程为x2＝2y.(2)证明：显然直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋，A，B.由消去y整理得，x2－2kpx－p2＝0.∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.∴M(kp，k2p＋)，N.∴kAN＝＝＝＝＝.又x2＝2py，∴y′＝.∴抛物线x2＝2py在点A处的切线斜率k＝.∴直线AN与抛物线相切．3．(2018·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，知S＝×1×|x1－x2|＝＝2，令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0<≤，∴0b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|＝λ|FB|，T(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．解：(1) e＝，c＝1，∴a＝，b＝1，即椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由|FA|＝λ|FB|，得y1＝－λy2， －λ＋＝＋，∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，又 AB边上的中线长为|TA＋TB|＝＝＝∈.2．(2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．(1)若ED＝6DF，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值．解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB的方程为x＋2y－2＝0.设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即k＝时，等号成立．故四边形AEBF面积的最大值为2.[较高难度题——学霸做]1．(2018·石家庄市质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求O...
