高考数学大二轮复习 专题8 解析几何 第2讲 综合大题部分真题押题精练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲综合大题部分1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．解析：(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点．又由＋>＋知，C不经过点P1，所以点P2在C上．因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，.则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.而k1＋k2＝＋＝＋＝.由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)．2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.由于圆M过点P(4，－2)，因此AP·BP＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.3．(2017·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．解析：(1)由题意得点M与点(0,1)的距离始终等于点M与直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，由得x2－4kx＋8＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8.kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)．即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋， x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，则直线AC恒过点(0,2)．2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，过点(0,1)且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．解析：(1)由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点(0,1)，则b＝1.由椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝2，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M(x0，y0)．由整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.由Δ＝(2...