第2讲圆锥曲线的方程性质及与弦有关的问题限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2019·天津卷)已知拋物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.解析：D[双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝＝.l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，故得A，B，所以|AB|＝，＝4，b＝2a，所以e＝＝＝.故选D.]2．(2020·贵阳监测)已知拋物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，且该拋物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：C[如图，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.]3．(2020·福州模拟)过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析：A[由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.故选A.]4．(2019·全国Ⅲ卷)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为()A.B.C．2D．3解析：A[忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．由a＝2，b＝，c＝＝. |PO|＝|PF|，∴xP＝，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y＝x上，∴S△PFO＝|OF|·|yP|＝××＝，故选A.]5．(2019·烟台三模)过拋物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E交于A，B两点，若E在A，B两点处的切线与E的对称轴交于点C，则△ABC外接圆的半径是()A．(－1)pB．pC.pD．2p解析：B[因为直线过拋物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点，且与其对称轴垂直，∴A，B，由y′＝可知E在A，B两点处的切线斜率为k1＝1，k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，又|AB|＝2p，所以△ABC外接圆的半径是p.]6．以拋物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：B[设出拋物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解．设拋物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2. |AB|＝4，|DE|＝2，拋物线的准线方程为x＝－，∴不妨设A，D. 点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．(2020·深圳模拟)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，拋物线C2：y2＝2px(p＞0)，C1与C2相交于A，B两点，|AB|＝，则拋物线C2的方程为____________．解析：由题意，知圆C1与拋物线C2的其中一个交点为原点，不妨记为B，设A(m，n)． |AB|＝，∴∴即A.将A的坐标代入拋物线方程得2＝2p×，∴p＝，∴拋物线C2的方程为y2＝x.答案：y2＝x8．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若F1A＝AB，F1B·F2B＝0，则C的离心率为____________．解析：设直线方程为y＝k(x＋c)，由得A点坐标为A，由得B点坐标为B F1A＝AB，∴A为F1B的中点，∴整理得b＝3ak.① F1B＝，F2B＝，F1B·F2B＝0.∴2－c2＋2＝0整理得c2k2＝(b－ak)2②由①②得＝2∴C的离心率e＝2.答案：2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2019·全国Ⅰ卷)已知拋物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若AP＝3PB，求|AB|.解：(1)设直线l的方程为y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得x2＋(3b－3)x＋b2＝0.∴x1＋x2＝＝，又|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝＋＝4.解得b＝－，∴直线l的方程为y＝x－.(2)设直线l的方程为y＝(x－a)，则P(...
